Question

Ao determinarmos a equação da reta normal à curva y = x3 - 4 no ponto x = 1, obtemos:

A) y= (-x- 8) / 3
B) y= -x / 3
C) y= (x- 8) / 3
D)y= (+x+ 8) / 3
E)y= (-x+8) / 3

Answer 1

Resposta:

y=x³-4

y'=3x²  

y'(1)=3  ..é o coef. angular da reta tangente no ponto (1,y(1))

3*m=-1 = m=-1/3   é o coef. da reta normal

y(1)=1-4=-3   ...ponto (1,-3)

-1/3= (y+3)/(x-1)

1-x=3y+9

y=(-x-8)/3    ..equação reduzida da reta

letra A

Answer 2

✅ Após ter resolvido os cálculos, concluímos que a reta normal à referida curva, passando pelo ponto "I" é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n: y = \frac{- x - 8}{3} \:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:A\:\:\:}}\end{gathered} }$

Se os dados da questão são:

           $\Large\begin{cases}y = x^{3} - 4\\x = 1 \end{cases}$

Para determinarmos a equação da reta normal "n" à curva pelo ponto de interseção "I(x, y)", devemos utilizar a equação da reta na forma ponto declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\bf1^{\underline{a}} \end{gathered} }$      $\Large\displaystyle\begin{gathered}Y - Y_{I} = m_{n}(X - X_{I}) \end{gathered}$

Para utilizarmos esta equação precisamos das coordenadas do ponto de interseção "I" e o coeficiente angular da reta "mn".

Então, devemos:

• Encontrar o ponto de interseção:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}I = (X_{I}, Y_{I}) \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (x, y) \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= [x, f(x)] \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (1, 1^{3} - 4) \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (1, 1 - 4) \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (1, -3) \end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:I(1, -3) \end{gathered}$

• Encontrar o coeficiente angular da reta normal:

        Uma vez sabendo que a reta "n" é normal à curva, então ela também é normal a reta tangente "t" à curva pelo ponto "I". Desta forma seus coeficientes angulares se relacionam da seguinte forma:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}m_{n}\cdot m_{t} = -1 \end{gathered}$    

        Então:

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} \end{gathered} }$

        Sabendo que o coeficiente angular de uma reta é a tangente do ângulo formado pela reta e o eixo das abscissas no seu sentido positivo ou - em outras palavras - o coeficiente angular da reta é a derivada primeira da função pelo ponto "I" e sabendo que:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = f(x) \end{gathered}$

        Então:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}m_{n} = \frac{-1}{f'(x)} \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-1}{3\cdot1^{3 - 1} - 0} \end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-1}{3\cdot1^{2}} \end{gathered} }$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{-1}{3\cdot1} \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= - \frac{1}{3} \end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:m_{n} = -\frac{1}{3} \end{gathered}$

• Montar a equação da reta normal:

        Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto de interseção "I" e o coeficiente da reta "n" na 1ª equação, ou seja:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}y - (-3) = -\frac{1}{3}(x - 1) \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}y + 3 = -\frac{x}{3} + \frac{1}{3} \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = -\frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3 \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{-x + 1 - 9}{3} \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{- x - 8}{3} \end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta normal à curva pelo ponto "I" é:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{- x - 8}{3} \end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/34130699
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Solução gráfica: