Question

Ao deparar-se com a expressão 3410/2+√2
e não dispondo de uma calculadora, um
estudante substituiu √2 por 1,41 e efetuou a divisão, obtendo uma aproximação para a expressão.
Um segundo estudante, antes de efetuar a divisão, racionalizou a expressão, eliminando
o radical do denominador. Depois, também substituiu √2 por 1,41 e efetuou as operações,
obtendo, para sua surpresa, uma aproximação diferente para a mesma expressão.
Considerando o exposto, indique por A a aproximação obtida pelo primeiro estudante,
por B a obtida pelo segundo e por C o valor exato da expressão que os estudantes não
tinham como calcular. Considerando que 1,41<√2 , coloque A, B e C em ordem crescente,
sendo A e B números racionais e C um número irracional, e justifique matematicamente
qual dos dois estudantes obteve o valor mais próximo do valor exato da expressão.

Answer 1

Resposta:

O valor mais próximo foi obtido pelo primeiro estudante.

Quando o segundo estudante efetuou a multiplicação por $2-\sqrt{2}$, para racionalizar, isto fez com que o resultado da divisão se torna-se maior. Isto aconteceu pois não houve substituição de $\sqrt{2}$ no denominador, somente no numerador, ou seja, o denominador foi multiplicado por $2-\sqrt{2}$, e o denominador por  $2-1,41$,  pois, como falado antes, o $\sqrt{2}$ será substituído, fazendo com $2-1,41$ aumente o valor do denominador.

$\frac{3410}{2+\sqrt{2} } .\frac{2-\sqrt{2} }{2-\sqrt{2}}$

$\frac{3410.(2-1,41)}{2}$

Observe que como   $1,41<\sqrt{2}$   o fator (2 - 1,41) se torna maior.

O A ainda é maior que C, pois o denominador diminuiu o valor quando  $\sqrt{2}$ foi substituído por 1,41, fazendo com que o resultado da divisão fosse maior que o resultado exato C.

C < A < B