Question

Ao calcular a soma dos 100 primeiros termos de uma PG com primeiro termo igual a vinte e razão igual a -1, obtive zero.
Isso é possível?

Answer 1

Olá.

Vamos calcular e descobrir.

An = ?

a1 = 20

q = -1

n = 100

An = a1 . q⁽ⁿ⁻¹⁾

An = 20 . (-1)⁽¹⁰⁰⁻¹⁾

An = 20 . (-1)⁹⁹

An = 20 . (-1)

An = -20

$Sn = \frac{a1 . (q^n - 1)}{q - 1}$

$Sn = \frac{20 . [(-1)^100 - 1]}{-1 - 1}$

$Sn = \frac{20 . (-1 - 1)}{-2}$

$Sn = \frac{20 . (-2)}{-2}$

Sn = 20

Então não, não é possível que o resultado seja zero. A soma dessa P.G. é 20.

Nós não precisávamos ter calculado o último termo (-20), porque a fórmula da soma dos termos de uma P.G. não precisa do último termo.

Mas talvez seja por isso que seu resultado tenha dado zero:

Você pode ter feito a soma usando a fórmula de somar Progressões Aritméticas (PAs) e não Progressões Geométricas (PGs). Se você usou a fórmula de PAs, o resultado seria zero.

Answer 2

Sim! Associando convenientemente, temos:

(-20 + 20) + (-20 + 20) + (-20 + 20) + ... + (-20 + 20) = 0

$\dotfill$

PGs são sequências onde cada termo, a partir do segundo, é resultado do produto do termo anterior por uma razão constante. PG é a abreviação de Progressão Geométrica e constitui um importante tipo de sequência com várias aplicações em matemática e outras áreas.

Em relação ao caso apresentado, isso é possível sim! Seja a PG como dado:

-20, 20, -20, 20, ..., -20, 20.

Como o número de termos é par, temos 50 vezes o -20 e 50 vezes o 20 na soma. Desta forma, associando convenientemente, a cada vez que somarmos -20 com 20 dá zero. Assim temos uma soma de 50 parcelas iguais a zero o que, obviamente, dá zero.

(-20 + 20) + (-20 + 20) + (-20 + 20) + ... + (-20 + 20) = 0

$\dotfill$

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