Question

Antônia em uma promessa de ano novo decidiu economizar um determinado valor mensalmente. Em janeiro Antônia economizou R$10,00 e, cada mês, guardaria o dobro do mês anterior. Qual será o total economizado em um ano?

Answer 1

Resposta: R$40950

Explicação passo a passo:

Seja $n$ o numero de meses que Antônia juntou dinheiro.

Nos é dado que no primeiro mês ela guardou R$10,00 e ela ira juntar o dobro do anterior(SEMPRE O DOBRO DO MÊS ANTERIOR).

temos 12 meses em 1 ano e no primeiro ela juntou R$10

Janeiro(mês 1) $= 10=2^0\cdot10$

Fevereiro(mês 2) $=2\cdot10 = 20=2^1\cdot10$

Março(mês 3) $= 2\cdot2\cdot10 = 2\cdot20 = 40=2^2\cdot10$

Abril(mês 4) $= 2\cdot2\cdot2\cdot10 = 2\cdot40 = 80=2^3\cdot10$

Perceba que a caba mês aumenta o expoente do 2 em 1 unidade. no mês inicial temos $2^0\cdot10 = 1\cdot10$ justamente os 10 reais.

Notando isso e percebendo que o expoente do 2 é sempre $n - 1$ podemos montar uma expressão:

$D(n) = 2^{n-1}\cdot10$

Lembrando que essa função $D(n)$  pode ser escrita como uma progressão geométrica, então para calcularmos a soma dos 12 meses precisamos saber a razão(2), primeiro termo(10) e a quantidade de termos que essa progressão possui(neste caso 12).

Para calcularmos a soma dos 12 meses temos a formula para somar termos de uma P.G.

$\displaystyle{S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q-1} }$

Aonde: $a_1$ é o primeiro termo

            $q$ é a razão

            $n$ o mês que queremos somar todos os valores até ele.

$\displaystyle{S_{12} = \frac{10(2^{12} - 1)}{2 - 1} = \frac{10(4096-1)}{1} = 40950 }$

Podemos verificar o valor 40950 calculando passo a passo $D(1)$ até $D(12)$ e somando cada um deles. Dando exatamente 40950