Question

Antes da pandemia, nosso coeficiente de custo de transporte “A” era de
100000 R$.unidade, e o coeficiente de custo de aquisição e armazenamento “B” era de
10 R$/unidade. Nessas condições, o ponto ótimo de estocagem estava definido como
100 unidades. Atualmente, nosso coeficiente de custo de transporte passou a ser
350000 R$.unidade, e o coeficiente de custo de armazenamento tornou-se
50 R$/unidade. Nos ajude a definir qual o novo ponto ótimo de estocagem.”
Sabendo disso, responda as seguintes questões:
a) Defina a função custo C(x) de antes da pandemia, considerando A = 100000 e B = 10;
calcule para essa função os limites quando x tende a 0 e quando x tende a infinito.

b) Esboce o gráfico da função custo apresentada no item anterior, ou seja, a função
custo de antes da pandemia.
c) Substitua os novos valores de A e B dados pelo engenheiro, encontre a nova função
custo C(x) e, utilizando seus conhecimentos de cálculo sobre os pontos de máximo e
mínimo, defina qual o novo ponto ótimo de estocagem.

Answer 1

Resposta:

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Explicação:

Answer 2

a) A função de custo C(x) para x tende a 0, será igual a menos infinito a mais infinito e quando x tende a infinito será igual a menos infinito e mais infinito.

b) O gráfico é uma reta que corta o eixo x e o eixo y.

c) O ponto máximo e mínimo será dado por $C'(x)=-\frac{350000}{x^2}+50$, e o ponto de estocagem será igual a $x=\sqrt{7000}$

Esta questão trata - se de um assunto de Cálculo para ensino superior, para isso por regra vamos usar dois tipos de função para entendimento, f(x) e g(x).

A função f(x) irá tratar a respeito dos valores de custo da matéria prima e do produto em reais, vamos chamar A o coeficiente de custo de transporte em reais e x a quantidade de matéria prima do produto em unidade.

                                                 $f(x) = \frac{A}{x}$

A função g(x) representa o custo de aquisição em reais por unidade, chamaremos de B e x será a matéria prima em unidades, então:

                                               $g(x)=Bx$

ALTERNATIVA A

A partir da explicação acima,  pode -se obter a função para achar o custo total, C(x), pois trata - se da soma de f(x) e g(x), temos então que:

                               $C(x)= f(x)+ g(x)= \frac{A}{x} + Bx$

A partir dos dados da questão, é possível aplicar os valores achar o limite pedido da seguinte forma:

                                    $C(x)=\frac{100000}{x} + 10x$

O limite quando x tende a 0 será:

                             $\lim_{x \to 0-}(\frac{100000}{x} +10x)= -\infty\\\\pois\\\\\lim _{x\to \:0-}\left(\frac{100000}{x}\right)+\lim _{x\to \:0-}\left(10x\right)\\\\\\\lim _{x\to \:0-}\left(\frac{100000}{x}\right)=-\infty\\\\\lim _{x\to \:0-}\left(10x\right)=0\\\\=-\infty+0\\=-\infty$

Dessa forma entende - se que para $0+$ o limite irá tender a $+\infty$.

Agora para x tender a infinito temos que, pode tender a mais infinito e menos infinito, pois pelo calculo temos que:

                                 $\lim _{x\to +\infty \:}\left(\frac{100000}{x}+10x\right)\\ \\pois\\\\\lim _{x\to +\infty \:}\left(\frac{100000}{x}\right)+\lim _{x\to +\infty \:}\left(10x\right)\\\\\lim _{x\to +\infty \:}\left(\frac{100000}{x}\right)=0\\\\\lim _{x\to +\infty \:}\left(10x\right)=+\infty\\\\=0+\infty\\=+\infty$

ALTERNATIVA B

Para construir o gráfico precisa - se ser aplicado em função de x, sabendo que as funções irão tender de zero a infinito (positivo e negativo).

É possível observar um gráfico reto que precisa de dois pontos, um que corta o eixo x e outro que corta o eixo y, sendo x a raiz da função e y o valor de b, em que  $f(x) =ax+b$. O gráfico da função segue em anexo.

Os pontos azuis no gráfico representa os limites da reta da equação da função do custo de antes da pandemia.

ALTERNATIVA C

Substituindo os novos valores atribuídos de A e B, basta aplicar na função de C(x) que já é conhecida, da seguinte forma:

                                         $C(x) = \frac{350000}{x} + 50x$

A questão pede o ponto de máximo e de mínimo, para isso precisa encontrar a integração da função de custo, ou seja:

                                        $C'(x) = \left(\frac{350000}{x}+50x\right)'$

Aplicando a regra da soma ou diferença, onde $\left(f\pm g\right)'=f\:'\pm g'$ temos que:

                                        $=\left(\frac{350000}{x}\right)'\:+\left(50x\right)'\:\\\\\left(\frac{350000}{x}\right)'=-\frac{350000}{x^2}\\\\\left(50x\right)'=50\\\\logo\\\\=\left-(\frac{350000}{x^2}\right)+50$

O novo ponto ótimo de estocagem, será quando $C'(x)=0$, logo:

                                       $-\frac{350000}{x^2}+50=0\\\\\frac{50x^2-350000}{x^2}=0\\\\x^2=\frac{350000}{50}\\\\x=\sqrt{7000}$

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