Question

Andrea está pleiteando um empréstimo de $30.000,00 para pagar no prazo de três meses mediante um único pagamento. A instituição financeira a qual Andrea solicitou o empréstimo utiliza unicamente o REGIME DE JUROS COMPOSTO, além disto os juros são retidos antecipadamente, ou seja, no ato da contratação do empréstimo. Atualmente, a taxa de juros praticada pelo banco é de 12%a.m.. Qual a taxa efetiva composta anual que Andréia pagará?


897,48% a.a.


20,75% a.a.


18,89% a.a.


697,52%a.a.


226,68% a.a.

Answer 1

Nesta questão é preciso atentar pra um detalhe que pode passar despercebido: "os juros são retidos antecipadamente".

Isso significa que, apesar de o empréstimo ser de 30.000,00, Andreia sai com da IF com um valor (efetivo) menor que 30.000,00.

Vamos então começar calcular o valor que ela, efetivamente, recebeu pelo empréstimo. Sabemos que o recebido será igual aos 30 mil subtraídos os juros.

$^{~Valor}_{Recebido}~=~30.000~-~\underbrace{30.000\times\left(~(1+0,12)^3-1~\right)}_{^{~~~~~Juros~compostos}_{Capital\times((1+Taxa)^{periodo}-1)}}\\\\\\^{~Valor}_{Recebido}~=~30.000-30.000\left(1,405-1\right)\\\\\\^{~Valor}_{Recebido}~=~30.000-30.000\left(0,405\right)\\\\\\^{~Valor}_{Recebido}~=~30.000-12.150\\\\\\\boxed{^{~Valor}_{Recebido}~=~17.850,00}$

Então Andreia sai da IF com 17.850,00 reais e, em três meses, o valor de 30 mil reais deverá ser pago em parcela unica.

Dessa forma, temos um empréstimo de 17.850 reais sobre o qual incidirá uma taxa de juros (a ser determinada) durante 3 meses resultando em um montante de 30 mil reais.

Utilizando a equação para o montante do regime de juros compostos, temos:

$Montante~=~Capital\times(1+Taxa)^{periodo}\\\\\\30000~=~17850\times(1+Taxa)^3\\\\\\(1+Taxa)^3~=~\dfrac{30000}{17850}\\\\\\1+Taxa~=~\sqrt[3]{1,68}\\\\\\1+Taxa~=~1,1889\\\\\\Taxa~=~0,1889\\\\\\\boxed{Taxa~=~18,89\%~a.m}$

Note, no entanto, que é pedida a taxa anual. Vamos então calcular a taxa anual equivalente a 18,9%a.m.

$(1+Taxa_{anual})^1~=~(1+Taxa_{mensal})^{12}\\\\\\(1+Taxa_{anual})^1~=~(1+0,1889)^{12}\\\\\\(1+Taxa_{anual})~=~(1,1889)^{12}\\\\\\(1+Taxa_{anual})^1~=~7,9752\\\\\\Taxa_{anual}~=~6,9752\\\\\\\boxed{Taxa_{anual}~=~697,52\,\%a.a}$