André tomou emprestado de um banco uma quantia de R$15.000,00 a uma taxa de juros de 12% ao mês, em quantos meses aproximadamente, o juros será igual ao valor tomado? Dados: log de 2 na base 1,12 igual a 6,12
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Timmy, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se que André tomou emprestado de um banco uma quantia de R$ 15.000,00 a uma taxa de juros compostos de 12% ao mês. Em quantos meses, aproximadamente, os juros serão iguais ao valor do empréstimo. Foi recomendado que se utilize, se precisar, que log₁ˏ₁₂ (2) = 6,12.
ii) Veja que juros, no regime de juros compostos, são dados assim:
J = C*[(1+i)ⁿ - 1] , em que "J" são os juros, "C" é o capital, "i" é a taxa de juros e "n" é o tempo.
Observe que já dispomos dos seguintes dados para substituir na fórmula dos juros acima:
J = 15.000 ---- (note que se pede o valor dos juros igual ao capital tomado).
C = 15.000
i = 0,12 ao mês ----- (note que 12% = 12/100 = 0,12)
n = n ---- (é o que vamos encontrar).
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:
15.000 = 15.000*(1+0,12)ⁿ - 1] ----- simplificando-se ambos os membros por "15.000", iremos ficar apenas com:
1 = 1*(1,12)ⁿ - 1] ----- ou apenas:
1 = (1,12)ⁿ - 1 ------ passando "-1" para o 1º membro, teremos:
1 + 1 = (1,12)ⁿ ----- desenvolvendo, temos:
2 = (1,12)ⁿ ----- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo, ficando:
(1,12)ⁿ = 2 ------ agora vamos aplicar logaritmo (na base "1,12") como recomendado. Fazendo isso, teremos:
log₁ˏ₁₂ (1,12)ⁿ = log₁ˏ₁₂ (2) ----- passando o expoente "n" multiplicando o respectivo log , teremos:
n*log₁ˏ₁₂ (1,12) = log₁ˏ₁₂ (2) .
Agora note que log₁ˏ₁₂ (1,12) = 1 (pois sempre que o logaritmando é igual à base o logaritmo sempre é igual a "1") e log₁ˏ₁₂ (2) = 6,12 , conforme já foi dado no enunciado da questão. Assim, fazendo essas substituições, teremos:
n*1 = 6,12 ----- ou, o que é a mesma coisa:
n = 6,12 meses <----- Esta é a resposta. Ou seja, o capital tomado emprestado de R$ 15.000,00, a uma taxa de 12% ao mês no regime de juros compostos, renderá juros iguais ao próprio capital (R$ 15.000,00) em "6,12" meses. Mas como está sendo pedida a quantidade aproximada de meses, então poderemos "arredondar" os "6,12" meses encontrados para apenas "6" meses.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
C = 15 000
j = C = 15 000
i = 12% a m = 12/100 = 0,12
M = 15 000 + 15 000 = 30 000
M = C ( 1 + i)^t
30 000 = 15 000 ( 1 + 0,12 )^t
1,12^t = 30000/15000
1,12^t = 2
t * log 1,12 = log 2
t * 0,049218 = 0,301029
t = 0,301029/0,049218
t = 6,11 ou 6 m ***** resposta