Question

Analisse a pociçao relativa entre o ponta A (-2,2) e a circinferencia M(x+1)2+(y+1)2=9

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos analisar a posição relativa entre um ponto e uma circunferência. Para isso, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Dado um ponto de coordenadas $(x_0,~y_0)$ e uma circunferência de equação $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, em que as coordenadas de seu centro são $(x_c,~y_c)$ e a medida de seu raio é igual a $r$, utilizamos a fórmula da distância entre dois pontos para determinarmos esta posição relativa.

A distância $d$ entre dois pontos $(x_0,~y_0)$ e $(x_c,~y_c)$ é dada por:

$d=\sqrt{(x_0-x_c)^2+(y_0-y_c)^2}$

A distância $d$, calculada entre os pontos definidos pelas coordenadas do centro da circunferência e o ponto dado, pode assumir três valores possíveis:

• Se $d<r$, o ponto é interno à circunferência.
• Se $d=r$, o ponto pertence à circunferência.
• Se $d>r$, o ponto é externo à circunferência.

Então, seja o ponto $A~(-2,~2)$ e a circunferência de equação $M:~(x+1)^2+(y+1)^2=9$.

Facilmente, podemos ver que as coordenadas do centro desta circunferência são $(-1,\,-1)$ e a medida de seu raio é igual a $3$.

Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, calculamos a distância entre o ponto $A$ e o centro da circunferência $M$:

$d=\sqrt{(-2-(-1))^2+(2-(-1))^2}$

Aplique a propriedade de sinais e some os valores dentro dos parênteses

$d=\sqrt{(-2+1)^2+(2+1)^2}\\\\\\ d=\sqrt{(-1)^2+(3)^2}$

Calcule as potências e some os valores

$d=\sqrt{1+9}\\\\\\ d=\sqrt{10}$

Observe que $\sqrt{10}>3$. Neste caso, deduz-se que a distância entre o ponto e o centro da circunferência é maior que o raio e conclui-se que este ponto é externo à circunferência.