Question

Analise um sistema constituído por uma mola com constante elástica igual 800 N/m e um projétil com massa igual a 0,5 kg. Analise a velocidade desta colisão, considerando que o sistema oscila com amplitude de A=0,5 m depois da colisão.

Answer 1

Observe o diagrama.

Temos o projétil se aproximando com velocidade v.

No instante t = 0 ocorre a colisão.

Logo em seguida a mola se comprime até atingir a amplitude de 0,5 m onde começa a oscilar com o projétil preso.

A direção positiva aponta para a direita.

Esse é um problema de condições iniciais. Nós temos a condição de que no instante t = 0 a posição do projétil é a origem o nosso sistema, onde ocorre a colisão, ou seja x = 0 e temos também que a velocidade no instante t = 0 é a velocidade do projétil v.

A função para a posição do projétil em um oscilador harmônico é:

$\displaystyle{x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$

Onde $A$ e $\phi$ dependem dessas condições e $\omega = \sqrt{k/m}$.

A função para a velocidade do projétil durante a oscilação é obtida derivando a função da posição:

$\displaystyle{\dot x(t) = -A\omega \sin (\omega t + \phi)$

Temos que:

$\displaystyle{\omega = \sqrt{\frac{800}{0.5}}=40\text{ s}^{-1}}$

$\dsiplaystyle{x(0)=0}$

$\displaystyle{\dot x(0)=v}$

Vamos achar os valores necessários:

$\displaystyle{x(0) = A \cos (\phi)=0$

Como A não pode ser 0:

$\displaystyle{\cos (\phi)=0\Rightarrow \phi = \frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle{\dot x(0) = -A\omega \sin (\pi/2)=v$

$\displaystyle{v=-A\omega}$

Precisamos do valor de A. Ela é justamente a amplitude do movimento.

O valor máximo para a função da posição ocorre justamente quando o cosseno vale 1 ou -1. Ou seja, A = 0.5

Por causa disso a função da posição é:

$\displaystyle{x(t) = 0.5 \cos (40 t + \pi/2)$

E por causa disso a velocidade do projétil é:

$\displaystyle{v=-A\omega=-0.5 \cdot 40=-20\text{ m/s}^2}$

Essa era a velocidade do projétil no momento da colisão. O sinal de - diz que o projétil estava indo na direção negativa, de acordo com a convenção de sinal.

Answer 2

A resposta segue a resposta correta