Question

Analise se a equação 4x² + 4y² + 4x + 8y + 9 = 0 represente uma circunferência.

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para analisar se a equação abaixo representa a equação de uma circunferência:

4x² + 4y² + 4x + 8y + 9 = 0

Veja: para representar uma circunferência, deveremos formar os quadrados e encontrar uma equação reduzida que tenha seguinte forma:

(x-xo)² + (y-yo)² = r²       . (I)

Vamos guardar a expressão acima, pois vamos precisar dela depois.
Note que , que "xo" e "yo" seriam as coordenadas do centro da circunferência [C(xo; yo)] e raio = r.

Então vamos formar os quadrados da equação da sua questão. Para isso, primeiro vamos ordenar, ficando:

4x²+4x + 4y²+8y +9 = 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "4", com o que ficaremos assim:

x²+x + y²+2y + 9/4 = 0 ---- agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles valores que forem acrescidos em função da formação dos quadrados. Assim, teremos:

(x+1/2)² - 1/4 + (y+1)² - 1 + 9/4 = 0 ----- agora vamos ordenar, ficando:

(x+1/2)² + (y+1)² - 1/4 - 1 + 9/4 = 0

Agora note que:

-1/4 - 1 + 9/4 = ----- mmc = 4. Assim:

(1*(-1) - 4*1 + 1*9)/4 = (-1 - 4 + 9)/4 = (4)/4 = 4/4 = 1. Assim, substituindo tudo isso por "1", ficaremos:

(x+1/2)² + (y+1)² + 1 = 0 ------ vamos passar o "1" para o 2º membro:

(x+1/2)² + (y+1)² = - 1

Agora faça a comparação com a expressão que acabamos de encontrar com a expressão (I), que deixamos logo no início.

Agora note: o valor que está no 2º membro (-1) não poderá ser o raio de uma circunferência, pois assim iríamos ter: r² = - 1 <---- note que isto jamais será conseguido. Não existe nenhum número real que, elevado ao quadrado, dê resultado negativo.

Por isso, a equação dada NÃO é de uma circunferência <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.