Question

⚠️⚠️ Analise o vetor (1,-5,2) e calcule sua norma, considerando⚠️ ⚠️

Answer 1

A norma do vetor (1,-5,2) considerando o produto interno descrito no enunciado é

                                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\|u\| =\sqrt{\frac{75}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}\\ \\\end{gathered} }$

A norma de um vetor é sempre relativa a escolha do produto interno, isso pois a norma de um vetor de maneira geral é calculada por meio do produto interno, porém note que nos espaços vetoriais mais comuns calculamos como a raiz da soma dos quadrados da coordenadas, porém considerando o produto interno

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left\langle u, v \right\rangle = \sum_{i=1}^{n} u_iv_i\end{gathered}$

Note que

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left\langle u, u \right\rangle = \sum_{i=1}^{n} u_iu_i = \sum_{i=1}^{n} u_i^2\end{gathered}$

Veja que isso é a norma ao quadrado de um vetor, então se fazemos a raiz do produto interno de um vetor com ele mesmo temos a norma do vetor!

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\|u\| = \sqrt{\left\langle u, u \right\rangle} =\sqrt{\sum_{i=1}^{n} u_i^2}\end{gathered} }$

Vamos fazer um exemplo com o produto interno usual de $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^3\end{gathered}$, considerando um vetor (1, 2, 3);

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\|u\|^2 = \left\langle u, u \right\rangle = 1^2 + 2^2 + 3^2\\ \\\|u\| = \sqrt{\left\langle u, u \right\rangle} = \sqrt{14}\\ \\\end{gathered}$

Então agora que sabemos que a norma de um vetor é a raiz do produto interno com ele mesmo podemos calcular a norma de um vetor relativa a qualquer produto interno!

Dado o produto interno:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left\langle \left(x, y, z\right), \left(w, r, t\right) \right\rangle = \frac{1}{2}xw + yr + 3zt\end{gathered}$

A norma ao quadrado de um vetor (x, y, z) vai ser

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\|X\|^2 = \left\langle \left(x, y, z\right), \left(x, y, z\right) \right\rangle = \frac{x^2}{2}+ y^2 + 3z^2\end{gathered}$

E a norma do vetor será a raiz, logo

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\|X\| = \sqrt{\left\langle \left(x, y, z\right), \left(x, y, z\right) \right\rangle} =\sqrt{\frac{x^2}{2}+ y^2 + 3z^2}\end{gathered} }$

Então para o vetor (1, -5, 2) basta aplicar a fórmula acima, irei chamar esse vetor de u

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\|u\| = \sqrt{\left\langle \left(1, -5, 2\right), \left(1, -5, 2\right) \right\rangle} =\sqrt{\frac{1^2}{2}+ (-5)^2 + 3(2)^2}\\ \\\|u\| =\sqrt{\frac{1}{2}+ 25 +12}\\ \\\|u\| =\sqrt{\frac{75}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}\\ \\\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Answer 2

A norma do vetor (1, -5, 2) em relação ao produto interno dado é igual a $\mathsf{\dfrac{5\sqrt{6}}{2}.}$

Explicação

Deseja-se encontrar a norma do vetor (1, -5, 2) em relação ao seguinte produto interno:

$\large\mathsf{\langle(x,\,y,\,z),(w,\,r,\,t)\rangle=\dfrac{1}{2}xw+yr+zt.}$

Para responder a esta tarefa, necessitamos saber o que é a norma de um vetor. Veja a seguir a definição.

Norma de um vetor

Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno $\mathsf{\langle~,~\rangle.}$  A norma de um vetor v (representada por $\mathsf{\Vert v\Vert}$) em relação a esse produto interno é igual à raiz quadrada do produto interno de v por si próprio, ou seja,

$\large\boxed{\mathsf{\Vert v\Vert=\sqrt{\langle v,\,v\rangle}}.}$

________

Assim, para determinarmos a norma pedida, precisamos do produto interno do vetor (1, -5, 2) por ele mesmo. Calculando-o, segue que:

$\large\mathsf{\langle(1,\,-5,\,2),(1,\,-5,\,2)\rangle=\dfrac{1}{2}\cdot1^2+(-5)^2+3\cdot2^2=}\\\\\\\large\mathsf{=\dfrac{1}{2}\cdot1+25+3\cdot4=}\\\\\\\large\mathsf{=\dfrac{1}{2}+25+12=}\\\\\\\large\mathsf{=\dfrac{1}{2}+37=}\\\\\\\large\mathsf{=\dfrac{1}{2}+\dfrac{37\cdot2}{2}=}\\\\\\\large\mathsf{=\dfrac{1+74}{2}=}\\\\\\\large\sf =\dfrac{75}{2}$

Agora, só precisamos calcular a raiz quadrada do produto interno encontrado. Observe:

$\large\begin{aligned}\sf \Vert(1,\,-5,\,2)\Vert&=\sf\sqrt{\dfrac{75}{2}}\\\\&=\sf \dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}\\\\&=\sf\dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\\&=\sf\dfrac{5\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\\\\&=\sf\dfrac{5\sqrt{6}}{2}\end{aligned}$

Portanto, a norma que procurávamos é:

$\large\boxed{\boxed{\mathsf{\Vert(1,\,-5,\,2)\Vert=\frac{5\sqrt{6}}{2}.}}}$

Dúvidas? Comente. :)