– Analise o valor do discriminante (o valor de Δ) de cada função quadrática abaixo. O que se pode dizer sobre a concavidade? Quantos pontos a parábola passa pelo eixo x (nenhum, um ou dois pontos)? a) f(x) = –x² + 2x – 5 b) g(x) = x² + 4x + 4 c) h(x) = –2x² + 2x + 12
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a) f(x) = –x² + 2x – 5
a = -1 b = 2 c = -5
A concavidade de uma parábola é determinada pelo sinal de (a).
Se (a) é positivo (a > 0) a parábola tem concavidade para cima.
Se (a) é negativo (a < 0) a parábola tem concavidade para baixo.
Na função f(x) dada, a = -1, então a parábola tem concavidade para baixo.
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 2² - 4.(-1).(-5)
Δ = 4 - 20
Δ = -16
Para calcular o valor de x, temos que encontrar a raiz de Δ.
Como não existe raiz quadrada de número negativo nos reais, não há solução. A função f(x) não tem nenhuma raiz, então ela não corta o eixo x.
b) g(x) = x² + 4x + 4
a = 1 b = 4 c = 4
a = 1 (positivo) - concavidade para cima.
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 4² - 4.1.4
Δ = 16 - 16
Δ = 0
A única coisa que diferencia as duas raízes de uma função do 2º grau é a raiz de delta. Fica x₁ = (-b + √Δ)/2a e x₂ = (-b - √Δ)/2a.
Quando o Δ é igual a zero, x₁ e x₂ ficam iguais (-b + 0 = -b - 0). então a função g(x) tem, na verdade, apenas uma raiz.
A parábola encosta no eixo x em um único ponto.
c) h(x) = –2x² + 2x + 12
a = - 2 b = 2 c = 12
a = - 2 (negativo) - a parábola tem concavidade para baixo.
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 2² - 4.(-2).12
Δ = 4 + 96
Δ = 100
A raiz quadrada de 100 é igual a 10. Ela existe nos números reais, então na hora de achar x₁ e x₂ teremos dois valores diferentes.
A função h(x) tem duas raízes diferentes.
A parábola corta o eixo x em dois pontos.
A regra então é: Δ < 0 (negativo) - não existem raízes reais
Δ = 0 - tem uma única raiz real
Δ > 0 (positivo) - tem duas raízes reais diferentes.
a = -1 b = 2 c = -5
A concavidade de uma parábola é determinada pelo sinal de (a).
Se (a) é positivo (a > 0) a parábola tem concavidade para cima.
Se (a) é negativo (a < 0) a parábola tem concavidade para baixo.
Na função f(x) dada, a = -1, então a parábola tem concavidade para baixo.
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 2² - 4.(-1).(-5)
Δ = 4 - 20
Δ = -16
Para calcular o valor de x, temos que encontrar a raiz de Δ.
Como não existe raiz quadrada de número negativo nos reais, não há solução. A função f(x) não tem nenhuma raiz, então ela não corta o eixo x.
b) g(x) = x² + 4x + 4
a = 1 b = 4 c = 4
a = 1 (positivo) - concavidade para cima.
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 4² - 4.1.4
Δ = 16 - 16
Δ = 0
A única coisa que diferencia as duas raízes de uma função do 2º grau é a raiz de delta. Fica x₁ = (-b + √Δ)/2a e x₂ = (-b - √Δ)/2a.
Quando o Δ é igual a zero, x₁ e x₂ ficam iguais (-b + 0 = -b - 0). então a função g(x) tem, na verdade, apenas uma raiz.
A parábola encosta no eixo x em um único ponto.
c) h(x) = –2x² + 2x + 12
a = - 2 b = 2 c = 12
a = - 2 (negativo) - a parábola tem concavidade para baixo.
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 2² - 4.(-2).12
Δ = 4 + 96
Δ = 100
A raiz quadrada de 100 é igual a 10. Ela existe nos números reais, então na hora de achar x₁ e x₂ teremos dois valores diferentes.
A função h(x) tem duas raízes diferentes.
A parábola corta o eixo x em dois pontos.
A regra então é: Δ < 0 (negativo) - não existem raízes reais
Δ = 0 - tem uma única raiz real
Δ > 0 (positivo) - tem duas raízes reais diferentes.
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