Question

Análise combinatória:


Uma sala está às escuras e possui 5 interruptores, cada um comandando uma lâmpada de cor diferente, sendo os interruptores independentes uns dos outros. Uma pessoa deseja iluminar a sala com, pelo menos, uma lâmpada acesa. Quantas são as possibilidades para essa pessoa realizar essa iluminação?

Obs.: O gabarito dá a resposta como 31, porém gostaria de saber a resolução e, se possível, uma explicação.

Answer 1

=> Temos 5 lampadas ...e 5 interruptores


1ª Nota importante: cada interruptor tem 2 posições (ligado ...ou desligado) 

2ª Nota importante: como se pretende que a sala fique iluminada ...há uma combinação que temos de eliminar ..que é a de todos os interruptores estarem desligados.

 
Assim o número (N) de posições possíveis para que a sala fique iluminada pelo menos com uma lampada será dado por:

N = 2⁵ - 1

N = 2.2.2.2.2 - 1

N = 32 - 1

N = 31 <--- número de possibilidades de fazer a iluminação


Espero ter ajudado

Answer 2

Se a sala será iluminada com pelo menos 1 lâmpada, isto quer dizer que poderei ter 1, 2, 3, 4 ou 5 lâmpadas acesas ao mesmo tempo. O número de combinações possíveis é dado por:

C5,1 + C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5 = 
5 + 5!/(2!3!) + 5!/(3!2!) + 5 + 1 =
5 + 5.4.3!/(2!3!) + 5.4.3!/(3!2!) + 5 + 1 =
5 + 5.2 + 5.2 + 5 + 1 =
5 + 10 + 10 + 5 + 1 =
31.