Question

Análise Combinatória.
Uma equipe de dez pesquisadores é formada por sete brasileiros e três estrangeiros. Para apresentar um projeto  a uma empresa, será necessário escolher cinco pesquisadores, dos quais no mínimo um deve ser estrangeiro. De quantas formas distintas poderá ser feita esta escolha?

Answer 1

Primeiramente, temos que ter uma ideia do que se pede.
→ Cada grupo deve ter, no mínimo, um estrangeiro.
→ Cada grupo é composto por cinco pessoas.

Uma ideia é calcular o total de combinações, ou seja, uma de 10 elementos tomados cinco a cinco e subtrair desse valor uma combinação de 7 elem. tomados cinco a cinco.
Por que?
Com a primeira, teremos o valor total, e com o segundo, o valor que não considera os estrangeiros. Ao subtrairmos, teremos o procurado.

$C_{10,5}=\dfrac{10!}{5!.(10-5)!}=\dfrac{10*9*8*7*6*\not5!}{\not5!.5*4*3*2}=252$
----------------------------------------------------------------------------------

$C_{7,5}=\dfrac{7!}{5!*2!}=\dfrac{7*6*5!}{5!*2}=21$

Agora subtraímos:

252 - 21 = 231 maneiras

Answer 2

Olá, Quezia, boa noite !

Precisamos escolher cinco pesquisadores e pelo menos um deles deve ser estrangeiro.

Temos a disposição sete brasileiros e três estrangeiros.

Vamos dividir o problema em três casos:

$\rhd$ Escolhemos um estrangeiro e quatro brasileiros.

Nesta situação, temos $3$ modos de escolher o estrangeiro e $\dbinom{7}{4}=\dfrac{7!}{4!\cdot3!}=35$ maneiras de escolher os brasileiros.

Logo, há $3\times35=105$ modos de formar uma equipe com um estrangeiro e quatro brasileiros.

$\rhd$ Escolhemos dois estrangeiros e três brasileiros.

Nesta situação, temos $\dbinom{3}{2}=3$ modos de escolher os estrangeiros e $\dbinom{7}{3}=\dfrac{7!}{4!\cdot3!}=35$ maneiras de escolher os brasileiros.

Logo, há $3\times35=105$ modos de formar uma equipe com dois estrangeiro e três brasileiros.

$\rhd$ Escolhemos os três estrangeiro e dois brasileiros.

Nesta situação, temos $\dbinom{3}{3}=1$ modo de escolher os estrangeiros e $\dbinom{7}{2}=\dfrac{7!}{2!\cdot5!}=21$ maneiras de escolher os brasileiros.

Logo, há $21\times1=21$ modos de formar uma equipe com um estrangeiro e quatro brasileiros.

A resposta é $105+105+21=231$ maneiras.

Espero ter ajudado, até mais ^^