Question

(Análise Combinatória)

Um grupo de profissionais é formado por seis advogados e oito engenheiros. Considerando que serão formadas comissões com cinco destes profissionais, assinale o que for correto:


01) Podem ser formadas menos que 55 comissões sem nenhum advogado.


02) Em 420 dessas comissões apenas um advogado participa.


08) Podem ser formadas 120 comissões com apenas um engenheiro.


16) Podem ser formadas mais de duas mil comissões distintas.


P.S: Preciso do cálculo de cada alternativa, por favor.

Answer 1

Perceba que, para formar comissões, não estamos preocupados com a ordem de escolha, apenas com quem é escolhido para a comissão.

Dessa forma, podemos determinar as quantidades de comissões utilizando combinações.

01) Errado

Se não há advogados, teremos uma comissão com 5 dos 8 engenheiros, logo:

$Qtde~de~comissoes~=~C_{8,5}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~\frac{8!}{5!~.~(8-5)!}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~\frac{8!}{5!~.~3!}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~\frac{8~.~7~.~6~.~5!}{5!~.~6}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~\frac{8~.~7~.~1~.~1}{1~.~1}\\\\\\\boxed{Qtde~de~comissoes~=~56}$

02) Certo

Se há 1 advogado dos 6 na comissão, então teremos 4 engenheiros dos 8, logo:

$Qtde~de~comissoes~=~C_{6,1}~.~C_{8,4}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~\frac{6!}{1!~.~(6-1)!}~.~\frac{8!}{4!~.~(8-4)!}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~\frac{6~.~5!}{1~.~5!}~.~\frac{8~.~7~.~6~.~5~.~4!}{4!~.~4!}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~\frac{6~.~1}{1~.~1}~.~\frac{8~.~7~.~6~.~5}{24~.~1}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~6~.~\frac{1680}{24}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~6~.~70\\\\\\\boxed{Qtde~de~comissoes~=~420}$

08) Certo

Se há 1 engenheiro dos 8 na comissão, então teremos 4 advogados dos 6, logo:

$Qtde~de~comissoes~=~C_{8,1}~.~C_{6,4}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~\frac{8!}{1!~.~(8-1)!}~.~\frac{6!}{4!~.~(6-4)!}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~\frac{8~.~7!}{1~.~7!}~.~\frac{6~.~5~.~4!}{4!~.~2!}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~\frac{8~.~1}{1~.~1}~.~\frac{6~.~5~.~1}{1~.~2}\\\\\\Qtde~de~comissoes~=~8~.~15\\\\\\\boxed{Qtde~de~comissoes~=~120}$

16) Errado (são possiveis exatas 2000 comissões, não mais)

As possiveis formações das comissões são como seguem:

--> 0 Adv + 5 Eng

--> 1 Adv + 4 Eng

--> 2 Adv + 3 Eng

--> 3 Adv + 2 Eng

--> 4 Adv + 1 Eng

--> 5 Adv + 0 Eng

O total de comissões será a soma das quantidades de cada tipo de formação listada. Algumas delas ja foram calculadas anteriormente.

Vou colocar abaixo a forma de calculo das restantes e seu resultado, o calculo vou deixar por sua conta, ja que são semelhantes aos ja feitos anteriormente.

$\rightarrow~ 2~Adv~+~3~Eng~=~C_{6,2}~.~C_{8,3}~=~840\\\\\rightarrow~ 3~Adv~+~2~Eng~=~C_{6,3}~.~C_{8,2}~=~560\\\\\rightarrow~ 5~Adv~+~0~Eng~=~C_{6,5}~=~6$

Somando todos, temos:

$Total~=~54+420+840+560+120+6\\\\\boxed{Total~=~2000}$