Question

Análise Combinatória

Quantos números de três algarismos apresentam, pelo menos, dois algarismo repetidos?

A resposta é 252 mas não sei como resolver...

Answer 1

Contar os que têm, pelo menos, dois algarismos iguais é o mesmo que pegar o total de números de três algarismos (de 100 a 999 têm 900 números) e subtrair a quantidade de números de três algarismos distintos. Temos, então, apenas, que contar os que têm três algarismos distintos, o que pode ser feito facilmente com o princípio da contagem:

${\_\atop 9} \ {\_\atop 9} \ {\_\atop8}\Rightarrow648 \ \mathrm{n\'umeros \ distintos}$

As 9 possibilidades para o primeiro dígito são os algarismos de 1 a 9, daí usamos um deles, então o segundo era pra ter 8 possibilidades, mas agora podemos usar o 0, indo pra 9 possibilidades para o segundo dígito. Usamos dois, então, de 10 algarismos, só podemos usar 8, restando essas 8 possibilidades para o último dígito.

Agora que temos a quantidade de números de algarismos distintos podemos responder a questão. Chamando de Q a quantidade procurada temos:

$Q=900-648 \\ \\ \boxed{\boxed{Q=252}}$

Answer 2

Resposta:

252 <= números de 3 algarismos com PELO MENOS 2 algarismos repetidos

Explicação passo-a-passo:

.

=> Pretendemos formar números com PELO MENOS 2 algarismos repetidos

...isto implica que os números podem ter 2 OU 3 algarismos repetidos

...ou ainda que SÓ NÃO INTERESSAM os números que tenham TODOS os algarismos distintos.

Assim vamos calcular TODOS os números possíveis de formar com 3 algarismos ...e depois subtrair TODOS os números que tenham algarismos distintos

RESOLVENDO:

=> Todos os números de 3 algarismos possíveis de formar:

→ Para o 1º algarismo temos 9 possibilidades (como vimos no exercício anterior o "ZERO" não pode ocupar o 1º digito)

→ Para o 2º digito temos 10 possibilidades

→ Para o 3º digito temos também 10 possibilidades

Assim o total de números será dado por:

N = 9.10.10

N = 900

=> Todos os números DISTINTOS (sem repetições)

→ Para o 1º digito temo 9 possibilidades (todos menos o "0")

-→ Para o 2º digito temos 9 possibilidades (todos menos o algarismo utilizado anteriormente)

→ Para o 3º digito temos 8 possibilidades (todos menos os 2 utilizados anteriormente)

Assim o total de números distintos será dado por:

N = 9.9.8

N = 648

Agora só falta calcular os que tem PELO MENOS 2 algarismos repetidos, donde resulta:

N = 900 - 640

N = 252 <= números de 3 algarismos com PELO MENOS 2 algarismos repetidos

Espero ter ajudado novamente