Matemática, perguntado por jovialmassingue, 9 meses atrás

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Quantos números de quatro algarismos diferentes é possível formar com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}:

a) Sendo os algarismos das unidades?

b) Que sejam múltiplos de 2?

c) Que estejam compreendidos entre 2 500 e 5 700.

♣Resposta detalhada (passo-a-passo) de modo que eu possa entender!

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo

Análise Combinatória

O primeiro passo é entendermos o que o autor da questão quer dizer com "números de quatro algarismos diferentes". Isso nos diz que os números a serem escritos não podem conter repetições de seus digitos. Por exemplo,

$22\xrightarrow[]{composto~por} 2~e~2~(o~algarismo~2~foi~escrito~repetidamente)$

Então, devemos escrever os números de modo que não sejam repetidos nenhum de seus algarismos.

A) Os elementos do conjunto A = {1,2,3,4,5,6} devem aparecer na casa das unidades. Exemplo,

$XYZ1~ou~XYZ2~ou~(...)~ou~XYZ6$

Para quaisquer algarismos que sejam x, y e z teremos aqui três números distintos, os quais estão inclusos na quantidade de soluções da questão. Sendo assim,

$\underline{~~~}.\underline{~~~}.\underline{~~~}.\underline{~~~}$

Este é um número qualquer de quatro algarismos.

Mas na casa das unidades temos apenas 6 possibilidades: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Daí,

$\underline{~~~}.\underline{~~~}.\underline{~~~}.\underline{~6~}$

Aqui, temos os números de quatro algarismos que possuem um dos elementos de A nas unidades.

Ao todo, temos 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Mas um deles já foi inserido nas unidades: restam 9.

Contudo o 0 não pode assumir a primeira posição, uma vez que o zero à esquerda faz com que o referido número possua somente 3 algarismos, em vez de quatro. Logo,

$\underline{~8~}.\underline{~~~}.\underline{~~~}.\underline{~6~}$

Aqui, temos os números terminados por um dos elementos de A e que não começam por 0. Além disso, o primeiro algarismo é diferente do último, pois o número inserido na unidade foi excluído das possibilidades da primeira posição. (todos os algarismos - o algarismo contido contido na última posição - o zero = 10 - 1 - 1 = 8)

Já na segunda posição, temos 8 elementos possíveis. Tínhamos 8, usamos 1 na primeira posição, daí ficamaos com 7; mas agora o zero pode fazer parte do número. Então,

$\underline{~8~}.\underline{~8~}.\underline{~~~}.\underline{~6~}$

Agora só nos restam 7 possibilidades para ocupar a terceira posição.

$\underline{~8~}.\underline{~8~}.\underline{~7~}.\underline{~6~}$

$\underline{Resposta:}~2~688~possibilidades.$

B) Agora, devemos formar números de quatro algarismos e que sejam múltiplos de 2. Isso ocorre para todos os pares, dessa forma os elementos pertencentes a A e que são pares devem assumir a posição das unidades. Observe:

$A'={2,4,6}$

Um total de 3 possibilidades.

Logo,

$\underline{~6~}.\underline{~5~}.\underline{~4~}.\underline{~3~}$

Aqui, vamos formar números com os algarismos de A, somente. Além disso, lembre-se: sempre que adicionamos um algarimos devemos retirá-lo do total de possibilidades, pois vamos escrever o número sem repetição de seus dígitos.

$\underline{Resposta:}~360~possibilidades.$

C) Para que os números estejam compreendidos entre 2 500 e 5 700, devemos impor-lhes que seus primeiros dígitos sejam o dois e o cinco (nessa ordem).

Limite inferior: menor número possível

$2~512$

Limite superior: maior número possível

$5~643$

Dessa forma, vamos às possibilidades:

Podemos iniciar com 2, 3, 4 e 5. Mas vamos separar em dois casos:

1) Iniciados por 2, 3 e 4:

Por 2:

$\boxed{~2~}~\boxed{~5~}.\underline{~4~}.\underline{~3~}$

Temos os números iniciados por 2 e 5, mas terminados em qualquer um dos outros 8 restantes.

Por 3:

$\boxed{~3~}~\underline{~5~}.\underline{~4~}.\underline{~3~}$

Por 4:

$\boxed{~4~}~\underline{~5~}.\underline{~4~}.\underline{~3~}$

No primeiro caso temos um total de 12 + 60 + 60 = 132 possibilidades.

2) Iniciados por 5:

Observe que todos os números inciados por 5 são menores que 5 700, uma vez que o 7 não faz parte de A. Então, basta impormos que o 5 seja o algarismo na primeira posição. Obs.: a única forma de excedermos 5 700 é colocando o algarismos 6 para assumir a primeira posição.

Daí,

$\boxed{~5~}~\underline{~5~}.\underline{~4~}.\underline{~3~}$