Question

ANÁLISE COMBINATÓRIA: precisamos escolher um time com 5 pessoas em um grupo com 12 meninas e 10 meninos. de quantos modos podemos formar este time sendo que ele não tinha mais de 3 meninos

Answer 1

Bom dia!

Para solucionar esse problema vamos relembrar a fórmula da combinação simples:

C = n!/p!(n-p)! onde n é o total e p o que "procuramos"

Essa fórmula é a necessária para solução pois utilizando-a conseguimos combinar sem repetição, ou seja, nesse caso específico, a ordem não importa.

Agora vamos as condições:

•TIME COM 1 MENINO

Se tem 1 menino, ele terá 4 meninas. Então vamos utilizar a fórmula:

C = 10!/1!(10-1)!
C = 10x9!/9!
C = 10

Então temos 10 maneiras de selecionar 1 entre 10 meninos.

C = 12!/4!(12-4)!
C = 12x11x10x9x8!/4x3x2x8!
C = 11x10x9x4
C = 990x4
C = 3960

Então temos 3960 maneiras de selecionar 4 entre 12 meninas.

Agora, vamos multiplicar essas combinações pois o time é formado por 1 menino e 4 meninas:

10x3960 = 39600 maneiras de formar um time com 1 menino e 4 meninas

• TIME COM 2 MENINOS

Se tem 2 meninos, ele terá 3 meninas. Então pela fórmula:

C = 10!/2!(10-2)!
C = 10x9x8!/2x8!
C = 5x9
C = 45

Então temos 45 maneiras de selecionar 2 entre 10 meninos.

C = 12!/3!(12-3)!
C = 12x11x10x9!/3x2x9!
C = 2x11x10
C = 220

Então temos 220 maneiras de selecionar 3 entre 12 meninas.

Multiplicando, teremos:

45x220 = 9900 maneiras de formar um time com 2 meninos e 3 meninas.

• TIME COM 3 MENINOS

Se ele tem 3 meninos, ele terá 2 meninas. Então pela fórmula:

C = 10!/3!(10-3)!
C = 10x9x8x7!/3x2x7!
C = 10x3x4
C = 120

C = 12!/2!(12-2)!
C = 12x11x10!/2x10!
C = 6x11
C = 66

66x120 = 7920 maneiras de formar um time com 3 meninos e 2 meninas.

Agora vamos somar as maneiras:

7920 + 9900 + 39600 =
57420

Então existem 57420 maneiras de formar um time de modo que ele não possua mais de 3 meninos.

Espero ter ajudado!

DISCÍPULO DE THALES