Question

Analise as séries geométricas e justifique sua resposta.
a) S = 1- ½ + ¼ - 1/8 + 1/16 -...

Answer 1

$S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\ldots\\ \\ S=(-\frac{1}{2})^{0}+(-\frac{1}{2})^{1}+(-\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2})^{3}+(-\frac{1}{2})^{4}+\ldots\\ \\ \\ S=\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}\,(-\frac{1}{2})^{k}$


Multiplicando os dois lados da igualdade acima pela razão $(-\frac{1}{2}),$ temos

$(-\frac{1}{2})\cdot S=(-\frac{1}{2})\cdot\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}\,(-\frac{1}{2})^{k}\\ \\ \\ (-\frac{1}{2})\cdot S=\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}\,(-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{1}{2})^{k}\\ \\ \\ (-\frac{1}{2})\cdot S=\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}\,(-\frac{1}{2})^{k+1}$


Fazendo uma mudança de variável

$p=k+1\;\;\Rightarrow\;\;k=p-1$


temos que

$p=1$ quando $k=0$

$p\to \infty$ quando $k\to \infty.$


Substituindo no somatório, temos

$(-\frac{1}{2})\cdot S=\underset{p=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,(-\frac{1}{2})^{p}$


somando $(-\frac{1}{2})^{0}$ aos dois lados, temos

$(-\frac{1}{2})^{0}+(-\frac{1}{2})\cdot S=(-\frac{1}{2})^{0}+\underset{p=1}{\overset{\infty}{\sum}}\,(-\frac{1}{2})^{p}\\ \\ 1+(-\frac{1}{2})\cdot S=\underset{p=0}{\overset{\infty}{\sum}}\,(-\frac{1}{2})^{p}$


O somatório do lado direito é a própria série geométrica $S.$ Então,

$1+(-\frac{1}{2})\cdot S=S\\ \\ S-(-\frac{1}{2})\cdot S=1\\ \\ S+\frac{1}{2}\cdot S=1\\ \\ \frac{2S+S}{2}=1\\ \\ \frac{3S}{2}=1\\ \\ 3S=2\\ \\ S=\frac{2}{3}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\; \boxed{\begin{array}{c}1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\ldots=\frac{2}{3} \end{array}}$