Question

Analise as séries abaixo e assinale a alternativa correta.



a.
As séries (I), (II) e (III) convergem absolutamente.

b.
As séries (II) e (III) convergem condicionalmente.

c.
Apenas a série (II) converge condicionalmente.

d.
As séries (I) e (II) convergem absolutamente

Answer 1

As séries I, II e III são convergentes absolutas. Letra a).

Vamos aplicar o teste da alternância primeiramente, em cada alternativa.

I) Teremos:

$b_n = \frac{1}{n^2}$

E:

$b_{n + 1} = \frac{1}{(n + 1)^2}$

Vamos analisar a primeira condição do teste da série alternada:

$b_{n + 1} \leq b_n\\\\\frac{1}{(n + 1)^2} \leq \frac{1}{n} \\\\n \leq (n + 1)^2$

O que é válido. Vamos agora testar a segunda condição:

$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$

Que também é válido. Logo a série é convergente.

O módulo dessa série será:

$|\frac{(-1)^{n + 1}}{n^2}| = \frac{1}{n^2}$

Conforme vimos, $\frac{1}{n^2}$ é convergente, logo a série é convergente absoluta.

II) Vamos aplicar a mesma análise feita anteriormente:

$b_{n + 1} \leq b_n\\\\\frac{1}{n + 2} \leq \frac{1}{n + 1} \\\\n + 1 \leq n + 2\\\\n \leq n + 1$

Que é válido.

$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0$

Logo é convergente.

$|\frac{(-1)^{n + 1}}{n + 1} | = \frac{1}{n + 1}$

Logo, a série é convergente absoluta.

III) Vamos proceder da mesma forma.

$b_{n + 1} \leq b_n\\\\\frac{n + 2}{(n + 1)^2} \leq \frac{n + 1}{n^2} \\\\n^3 + 2n^2 \leq n^3 + 2n^2 + n + n^2 + 2n + 1\\\\n^3 + 2n^2 \leq n^3 + 3n^2 + 3n + 1\\\\n^2 + 3n + 1 \geq 0$

O que é válido, pois n assumirá apenas valores positivos.

$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} ) = 0 + 0 = 0$

Logo é convergente.

$|\frac{(-1)^n(n+1)}{n^2} | = \frac{n + 1}{n^2}$

Logo ela é convergente absoluta.

IV) Vamos novamente aplicar o teste:

$b_{n + 1} \leq b_n\\\\(\frac{3}{2} )^{n + 1} \leq (\frac{3}{2})^n$

O que é inválido, logo a série não converge.

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Answer 2

Resposta:

b.

As séries (II) e (III) convergem condicionalmente.

Explicação passo-a-passo:

I, II e III convergem, mas para verificar se converge absolutamente ou condicionalmente devemos tomar o modulo e verificar se o resultado continua convergindo. Se continuar convergindo, ela será convergente absoluta, porém se o resultado do módulo for convergente, significa que a a série é convergente condicional.