Question

Analise as sentenças abaixo:

Answer 1

i)

$log_{2}(b)-log_{2}(a)=5$

Usando a seguinte propriedade: $log_{b}(x)-log_{b}(y)=log_{b}\left(\dfrac{x}{y}\right)$

temos

$log_{2}\left(\dfrac{b}{a}\right)=5$

Usando a definição de logaritmo: $log_{b}(a)=c~~\leftrightarrow~~b^{c}=a$

$\left(\dfrac{x}{y}\right)=2^{5}\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{x}{y}=32}}$

(i) é verdadeira
________________________________

ii)

Usarei as seguintes propriedades (além da definição):

$log_{b}(a^{n})=n\cdot log_{b}(a)\\\\log_{b}(x)+log_{b}(y)=log_{b}(x\cdot y)\\\\log_{b}(x)-log_{b}(y)=log_{b}(\frac{x}{y})\\\\log_{b}(x)=log_{b}(y)~~\rightarrow~~x=y$
____

$2\cdot log(x)+log(b)-log(3)=log\left(\dfrac{9b}{x^{4}}\right)\\\\\\log(x^{2})+log\left(\dfrac{b}{3}\right)=log\left(\dfrac{9b}{x^{4}}\right)\\\\\\log\left(\dfrac{x^{2}b}{3}\right)=log\left(\dfrac{9b}{x^{4}}\right)\\\\\\\dfrac{x^{2}b}{3}=\dfrac{9b}{x^{4}}$

Assumindo b não-nulo, podemos cancelar b:

$\dfrac{x^{2}}{3}=\dfrac{9}{x^{4}}$

Multiplicando em cruz:

$x^{2}\cdot x^{4}=3\cdot9\\\\x^{6}=27\\\\x^{6}=3^{3}\\\\(x^{6})^{1/6}=(3^{3})^{1/6}\\\\x^{1}=3^{3/6}\\\\x=3^{1/2}\\\\x=\sqrt{3}$

Sabemos que

$\sqrt{1}\le\sqrt{3}\le\sqrt{4}~~~\rightarrow~~~\boxed{\boxed{1\le\sqrt{3}\le2}}$

(Sabemos que raiz de 3 não é 1 nem 2, mas coloquei menor ou igual, pois não influencia em nada, já que raiz de 3 é um número fixo)

Então, (ii) é verdadeira

Ambas são verdadeiras