Question

Analise as funções abaixo em relação às assíntonas e enumere as duas colunas:

A) Y = $\frac{5}{x-3}$
B) Y = $\frac{3}{x-1}$
C) Y = $\frac{2}{x}$
D) Y =$\frac{2}{(x-4)^2}$

( ) x= 1 é a assíntona vertical e y=0 é a assíntona horizontal
( ) x= 4 é a assíntona vertical e y=0 é a assíntona horizontal
( ) x= 3 é a assíntona vertical e y=0 é a assíntona horizontal
( ) x= 0 é a assíntona vertical e y=0 é a assíntona horizontal

Answer 1

A)
Para calcular a assintota vertical de Y, primeiro vamos verificar seu domínio.
Para que Y pertença aos reais, x≠3. Assim, podemos suspeitar que x=3 é assíntota vertical de y. Para verificar nossa hipótese, vamos calcular:

$\lim_{x \to 3^{+} } \frac{5}{x-3} = +\infty \\ \lim_{x \to 3^{-} } \frac{5}{x-3} = -\infty$
Logo, x=3 é assíntota vertical de f(x).

Agora vamos verificar as assíntotas horizontais:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x-3} =0 \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{5}{x-3} =0$

Logo, y=0 é assíntota vertical de f(x).

B) De novo, olhamos o domínio... x≠1
$\lim_{x \to 1^{+} } \frac{3}{x-1} =+\infty \\ \lim_{x \to 1^{-} } \frac{3}{x-1} =-\infty$

x=1 é assíntota vertical.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x-1} =0 \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x-1} =0$

y=0 é assíntota horizontal.

C)Domínio: x≠0
$\lim_{x \to 0^{+} } \frac{2}{x} =+\infty \\ \lim_{x \to 0^{-} } \frac{2}{x} =-\infty$

x=0 é assíntota vertical

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x} =0 \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x} =0$

y=0 é assíntota horizontal.

D) Domínio: x≠4

$\lim_{x \to 4^{+} } \frac{2}{(x-4)^2} = +\infty \\ \lim_{x \to 4^{-} } \frac{2}{(x-4)^2} = +\infty$

x=4 é assíntota vertical

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{(x-4)^2} =0 \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{(x-4)^2} =0$

y=0 é assíntota horizontal.

Resposta letra C

Answer 2

Em relação às assíntotas ao gráfico de uma função $f\left(x)$, podemos afirmar que

$\bullet\;\;$ Se $\underset{x \to a^{-}}{\mathrm{\ell im}}\;f(x)=\pm \infty\;\;\text{ ou }\;\;\underset{x \to a^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;f(x)=\pm \infty$

então $f$ tem uma assíntota vertical em $x=a.$

(é comum que $x=a$ seja um ponto de descontinuidade de $f$, ou um ponto onde $f$ não está definida)


$\bullet\;\;$ Se $\underset{x \to -\infty}{\mathrm{\ell im}}\;f(x)=b\;\;\text{ ou }\;\;\underset{x \to +\infty}{\mathrm{\ell im}}\;f(x)=b$

então $f$ tem uma assíntota horizontal em $y=b.$


Então vamos analisar os limites das funções:

A) $y=\dfrac{5}{x-3}$

$f(x)=\dfrac{5}{x-3}$.


Vemos que a função não está definida para $x=3$. Logo, vamos analisar o limite da função neste ponto:

$\underset{x \to 3^{-}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{5}{x-3}=-\infty\\ \\ \underset{x \to 3^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{5}{x-3}=+\infty$


Logo, $x=3$ é assíntota vertical.


Verificando a existência de assíntotas horizontais:

$\underset{x \to \pm \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{5}{x-3}=0$


Logo, $y=0$ é assíntota horizontal.


B) $y=\dfrac{3}{x-1}$

$f\left(x \right )=\dfrac{3}{x-1}$


Vemos que a função não está definida para $x=1$. Logo, vamos analisar o limite da função neste ponto:

$\underset{x \to 1^{-}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{3}{x-1}=-\infty\\ \\ \underset{x \to 1^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{3}{x-1}=+\infty$

Logo, $x=1$ é assíntota vertical.


Verificando a existência de assíntotas horizontais:

$\underset{x \to \pm \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{3}{x-1}=0$


Logo, $y=0$ é assíntota horizontal.


C) $y=\dfrac{2}{x}$

$f(x)=\dfrac{2}{x}$


Vemos que a função não está definida para $x=0$. Logo, vamos analisar o limite da função neste ponto:

$\underset{x \to 0^{-}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2}{x}=-\infty\\ \\ \underset{x \to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2}{x}=+\infty$


Logo, $x=0$ é assíntota vertical.


Verificando a existência de assíntotas horizontais:

$\underset{x \to \pm \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2}{x}=0$


Logo, $y=0$ é assíntota horizontal.


D) $y=\dfrac{2}{\left(x-4 \right )^{2}}$

$f\left(x \right )=\dfrac{2}{\left(x-4 \right )^{2}}$


Vemos que a função não está definida para $x=4$. Logo, vamos analisar o limite da função neste ponto:

$\underset{x \to 4^{-}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2}{\left(x-4 \right )^{2}}=+\infty\\ \\ \underset{x \to 4^{+}}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2}{\left(x-4 \right )^{2}}=+\infty$


Logo, $x=4$ é assíntota vertical.


Verificando a existência de assíntotas horizontais:

$\underset{x \to \pm \infty}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2}{\left(x-4 \right )^{2}}=0$


Logo, $y=0$ é assíntota horizontal.


Resposta: alternativa $\text{C) } b,\,d,\,a,\,c.$