Question

Analise as asserções a seguir. I. T(x,y)=(2x+3y,x-y,x+2y) é uma transformação linear. II. T(x,y,z)=(x.y,1+z) não é uma transformação linear. III. T(x,y,z)=(x,y) não é uma transformação linear. Assinale a alternativa correta.
a ) As afirmativas I e III estão corretas.
b ) Apenas a afirmativa III está correta.
c ) Apenas a afirmativa I está correta.
d ) Apenas a afirmativa II está correta.
e ) As afirmativas I e II estão corretas.

Answer 1

Utilizando a definição de uma transformação linear, podemos afirmar que, as afirmações I e II estão corretas, alternativa e.

Afirmação I

A função dada é uma transformação linear, pois preserva as operações de soma de dois vetores e de multiplicação de um vetor por um número real. De fato, temos que:

$T(av + u) = T(ax_1 + x_2, ay_1, y_2) = (2ax_1 + 2x_2 + 3ay_1 + 3y_2, ax_1 + x_2 - ay_1 - y_2, ax_1 + x_2 + 2ay_1, y_2) = a*T(v) + T(u)$

Afirmação II

A função dada não é uma transformação linear, pois, não preserva a operação de multiplicação de um vetor por um número real, por exemplo:

$T(0, 0, 0) = (0, 1) \neq 0*(0,0) = T(0*v)$

Afirmação III

A função descrita é uma transformação linear, pois:

$T(av + u) = T(ax_1 + x_2, ay_1 + y_2, ax_3 + y_3) = (ax_1 + x_2, ay_1 + y_2) = a*T(v) + T(u)$

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