Question

Analise as afirmativas feitas sobre a figura abaixo representada no plano cartesiano com duas dimensões, x e y, tomando-se como unidade o centímetro.



I- O raio da circunferência é cm.

II- A equação da circunferência é (x-2)² + (y-1)² =2.

III- A equação da reta s é y=x+1.

IV- A equação da reta r é y=-x-1 .

V- A distância do ponto C(2,1) à reta r é cm.



É correto apenas o que se afirma em


II, III e V.


I, II e IV.


I, II e III.


I, II e V.


II, III e IV.

Answer 1

Acredito que falta informação nos itens I e V, então vou resolver os itens e você poderá tirar as suas conclusões.

I) Determinando o raio da circunferência:

Preciso descobrir um dos catetos do triângulo retângulo formado pela reta r, o eixo x e o eixo y, para saber em que ponto a circunferência toca o eixo x, e então determinar o seu raio.

posso usar o ângulo interno adjacente a 135° do triângulo, 45°, para determinar o lado do triângulo correspondente ao eixo x. Para isso, eu uso a tangente de 45°, ou 1:

x = cateto do eixo x
y = cateto do eixo y = 1

tg(45) = (cateto oposto)/(cateto adjacente)
tg(45) = y)/x
tg(45) = 1/x
tg(45) = 1
1/x = 1
x = 1

Eu tenho um triângulo em que os dois catetos são iguais a 1. Para achar o raio da circunferência, basta achar a hipotenusa (h) desse triângulo:

1² + 1² = h²
1 + 1 = h²
2 = h²
h = √2

O raio da circunferência é igual a √2

II) Validando a equação da circunferência:

(x-2)² + (y-1)² =2.

A equação afirma que o raio da circunferência ao quadrado é igual a 2, podemos confirmar isso fazendo:

r² = 2
(√2)² = 2
2 = 2

Escolho, para os valores de x e y, as coordenadas onde a circunferência toca o eixo x, (1, 0):

(x-2)² + (y-1)² = 2
((1) - 2)² + ((0) - 1)² = 2
(-1)² + (-1)² = 2
1 + 1 = 2
2 = 2

Certo. A equação da circunferência é mesmo (x-2)² + (y-1)² =2.

III) Equação da reta s

Equação da reta é y = mx + b. b é o ponto em que a reta intercepta o eixo y: b = 1. Podemos descobrir m através de dois pontos da reta:

Ponto 1 = (0, 1)
Ponto 2 = (3, 4)

m = (y' - y'')/(x' - x'')
m = (1 - 4)/(0 - 3)
m = -3/-3
m = 1

y = mx + b
y = 1x + 1
y = x + 1

A equação da reta s é y = x + 1

IV) Equação da reta r

A reta r é perpendicular à reta s, então tudo o que precisamos fazer é mudar o sinal do coeficiente de x (m):

Equação da reta s: y = x + 1
Equação da reta r: y = -x + 1

A equação da reta r é y = -x + 1

V) Distância do ponto C(2, 1) à reta r:

É a distância do centro da circunferência à reta r. Se imaginarmos uma reta paralela a r, que contém o ponto C(2, 1), veremos que a distância entre essas retas é igual ao raio da circunferência, √2.

A (menor) distância do ponto C(2,1) à reta r é igual a √2.