Question

Analise a figura apresentada a seguir, na qual foram traçadas todas as diagonais de alguns polígonos regulares.


Existe polígono com 18 diagonais? Justifique sua resposta utilizando argumento matemático.

Answer 1

Resposta:

Não

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, é necessário analisar a fórmula para obter o número de diagonais.

(Não é necessário entender a demonstração da fórmula por análise combinatória para resolver a questão, eu que gosto dela mesmo K)

O número de diagonais de um polígono pode ser obtido pela combinação do número de vértices em 2 menos o número de lados, ou seja:

D(n) = C(n,2) - n

D(n) = n! / (2! x (n-2)!)    -   n

n! = n x (n-1) x (n-2)!

D(n) = [n x (n-1) x (n-2)!]/( 2! x (n-2)!)   -   n

D(n) = n(n-1)/2  -  n

D(n) = n(n-1)/2 - 2n/2

D(n) = (n(n-1) - 2n)/2

D(n) = n(n-1-2)/2

D(n) = n(n-3)/2

Isso é a fórmula clássica usada para obter o número de diagonais

No caso da questão, é necessário descobrir se há um polígono com 18 diagonais

18 = n(n-3)/2

36 = n^2 - 3n

0 = n^2 - 3n -36

Resulta em uma equação do segundo grau

Delta = 9 - 4x(1)x(-36)

Delta = 9 + 144 = 153

n = (3±√153)/2

Como o domínio da função envolve apenas valores naturais, sendo os valores de n fracionários, é impossível que exista um polígono com 18 diagonais