Question

Analise a expressão abaixo para e encontre uma expressão equivalente: |x-5|+|x-2| com 2≤x≤5

Answer 1

Olá.

O módulo é uma operação condicional, isto é, varia seu valor de acordo com uma condição específica. O exercício pede uma expressão equivalente, então podemos retirar o módulo e trocar por algo que seja idêntico. Para isso, precisaremos nos recordar da definição de módulo.

Seja a o argumento do módulo(pode ser um número, expressão ou mesmo função), ele será definido como:

$|a|=\displaystyle\left \{ {{~a,~se~a~\geq0} \atop {-a, ~se~a<0}} \right.$

Vamos ao nosso problema: Temos dois módulos:   $|x-5|$  e  $|x-2|$  . Vamos analisar qual o comportamento deles:

$|x-5| = \displaystyle\left \{ {{(x-5),~se~(x-5)\geq0} \atop {-(x-5),~se~(x-5)<0}} \right.$

Repare que repeti a definição que fizemos para a ali em cima, trocando ele pelo valor do que está no módulo. Veja ainda que podemos ainda, nas condições, isolar $x$, obtendo:

$|x-5| = \displaystyle\left \{ {{x-5,~se~x\geq5} \atop {-x+5,~se~x<5}} \right.$

Veja que também apliquei a distributiva embaixo e isolei $x$.

Fazendo o mesmo procedimento para $|x-2|$, teremos:

$|x-2| = \displaystyle\left \{ {{(x-2),~se~(x-2)\geq0} \atop {-(x-2),~se~(x-2)<0}} \right.\\ \\ \\ |x-2| = \displaystyle\left \{ {{x-2,~se~x\geq2} \atop {-x+2,~se~x<2}} \right.$

O enunciado nos disse que $2\leq x\leq 5$, o que significa que $x\geq 2$  e  $x\leq 5$

Veja que na nossa definição, se a = 0, tanto faz pegarmos |a| = a ou |a| = -a, pois será igual a zero em qualquer situação, e usamos o maior ou igual apenas para definir naquele ponto um valor. Por conta disso, $x\leq 5$ representa a segunda condição de |x-5|, então ele valerá $-x+5$.

Da mesma forma, $x\geq2$ é a primeira condição do módulo |x-2|, então ele vale $x-2$

Portanto, a expressão é idêntica a:

$|x-5|+|x-2|\equiv (-x+5) + (x-2)\\ \\ |x-5|+|x-2|\equiv (-x+x) + (5-2)\\ \\ \boxed{|x-5|+|x-2|\equiv 3}$

A expressão equivalente é exatamente o número 3.