Question

analisar a monotonicidade da função f(x) = | x - 1 |/x²

Answer 1

O domínio da função é o conjunto $\mathbb{R}-\{0\}.$


$f(x)=\dfrac{|x-1|}{x^{2}}\\ \\ \\ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \dfrac{x-1}{x^{2}},&\text{se }x\geq 1\\ \\ \dfrac{1-x}{x^{2}},&\text{se }x<0\,\text{ ou }\,0<x<1 \end{array} \right.$


Observe que $f$ não é derivável em $x_{0}=1,$ pois

$\underset{x\to 1^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ \\ \\ =\underset{x\to 1^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\frac{1-x}{x^{2}}-0}{x-1}\\ \\ \\ =\underset{x\to 1^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{-(x-1)}{x^{2}}\cdot\dfrac{1}{x-1}\\ \\ \\ =\underset{x\to 1^{-}}{\mathrm{\ell im}}\,-\dfrac{1}{x^{2}}=-1$


e por outro lado,

$\underset{x\to 1^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ \\ \\ =\underset{x\to 1^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\frac{x-1}{x^{2}}-0}{x-1}\\ \\ \\ =\underset{x\to 1^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{x-1}{x^{2}}\cdot\dfrac{1}{x-1}\\ \\ \\ =\underset{x\to 1^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{1}{x^{2}}=1$


As derivadas laterais são diferentes para $x_{0}=1.$ Logo, $f'(1)$ não existe.


Já nos outros pontos domínio, $f$ é derivável:


$\bullet\;\;$ Para $x>1:$

$f'(x)=\left[\dfrac{x-1}{x^{2}} \right ]'\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{(x-1)'\cdot x^{2}-(x-1)\cdot (x^{2})'}{(x^{2})^{2}}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{1\cdot x^{2}-(x-1)\cdot 2x}{x^{4}}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{x^{2}-2x^{2}+2x}{x^{4}}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{-x^{2}+2x}{x^{4}}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{x\cdot (-x+2)}{x^{4}}\\ \\ \\ f'(x)=\dfrac{-x+2}{x^{3}}$


$\bullet\;\;$ Para $x<0$ ou $0<x<1:$

$f'(x)=\left[\dfrac{1-x}{x^{2}} \right ]'\\ \\ \\ f'(x)=\left[\dfrac{-(x-1)}{x^{2}} \right ]'\\ \\ \\ f'(x)=-\left[\dfrac{x-1}{x^{2}} \right ]'$


Observe que é só trocar o sinal da expressão obtida para $x>1:$

$f'(x)=\dfrac{x-2}{x^{3}}$


Então, temos a expressão para a derivada de $f:$

$f'(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \dfrac{-x+2}{x^{3}},&\text{se }x>1\\ \\ \dfrac{x-2}{x^{3}},&\text{se }x<0\,\text{ ou }\,0<x<1 \end{array} \right.$


Agora, temos que estudar o sinal da derivada de $f:$

$\bullet\;\;$ Para $x>1:$

$\underset{1}{\circ}\overset{++++}{\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{2}{\bullet}\overset{----}{\_\_\_\_\_\_\_\_}\;\;\;\;\;-x+2\\ \\ \underset{1}{\circ}\overset{++++}{\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{2}{\bullet}\overset{++++}{\_\_\_\_\_\_\_\_}\;\;\;\;\;x^{3}\\ \\ \underset{1}{\circ}\overset{++++}{\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{2}{\bullet}\overset{----}{\_\_\_\_\_\_\_\_}\;\;\;\;\;f'(x)=\dfrac{-x+2}{x^{3}}$


$\bullet\;\;$ Para $x<0:$

$\overset{-----}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{0}{\circ}\;\;\;\;\;x-2\\ \\ \overset{-----}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{0}{\circ}\;\;\;\;\;x^{3}\\ \\ \overset{+++++}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{0}{\circ}\;\;\;\;\;f'(x)=\dfrac{x-2}{x^{3}}$


$\bullet\;\;$ Para $0<x<1:$

$\underset{0}{\circ}\overset{-----}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{1}{\circ}\;\;\;\;\;x-2\\ \\ \underset{0}{\circ}\overset{+++++}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{1}{\circ}\;\;\;\;\;x^{3}\\ \\ \underset{0}{\circ}\overset{-----}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{1}{\circ}\;\;\;\;\;f'(x)=\dfrac{x-2}{x^{3}}$


Então o sinal da derivada de $f$ fica:

$\overset{+++++}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{0}{\circ}\overset{-----}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{1}{\circ}\overset{+++++}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\underset{2}{\bullet}\overset{-----}{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\;\;\;f'(x)$


e a derivada se anula em $x_{0}=2.$


Como a derivada troca de sinal ao longo de seu domínio, a função $f$ não é monotônica em $\mathbb{R}-\{0\}.$ Mas, nos intervalos em que o sinal de $f'$ não muda, $f$ é monotônica:


$f$ é crescente em $(-\infty;\,0);$

$f$ é decrescente em $(0;\,1];$

$f$ é crescente em $[1;\,2];$

$f$ é decrescente em $[2;\,+\infty).$