Question

Analisando o conjunto C dos vetores a seguir, verifique se ele forma uma base para o R³

Answer 1

O conjunto C é base de $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^3\end{gathered}$.

Para que um conjunto seja base de um espaço vetorial, necessitamos de um número de vetores igual a dimensão do espaço e que esses vetores sejam L.I, i.e Linearmente Independentes.

Podemos verificar que vetores são L.I através de um sistema, pois um vetor é L.I se ele não pode ser escrito como combinação linear dos outros, e.g.

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}0_v = \alpha_1u_1 + \alpha_2u_2+\ldots+\alpha_nu_n\end{gathered}$

Dado o sistema acima a única solução é a solução trivial

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\alpha_1 = \alpha_2=\ldots=\alpha_n = 0\end{gathered}$

A maneira mais fácil de verificar isso é através de um determinante, se temos um espaço de dimensão n, e temos um conjunto de vetores candidatos a base {u₁, u₂,..., uₙ}, então fazemos o determinante colocando suas coordenadas nas linhas

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left|\begin{array}{c}u_{1}\\u_{2}\\ \vdots\\u_{n}\end{array}\right| \ne 0\Rightarrow \text{s\~ao L.I}\end{gathered}$

Lembrando que u são vetores, e a matriz acima precisa ser quadrada, logo os vetores u também tem n coordenadas, para o caso do $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^3\end{gathered}$ isso se reduz a

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left|\begin{array}{c c c}u_{1} & u_{2} & u_{3}\\ v_{1} & v_{2} & v_{3}\\ w_{1}& w_{2} & w_{3}\\ \end{array}\right| \ne 0\Leftrightarrow \text{s\~ao L.I}\end{gathered}$

Sendo u, v e w vetores de $\large\displaystyle\begin{gathered}\mathbb{R}^3\end{gathered}$. Logo, para verificar se C é uma base basta provar que ele é L.I através do determinante.

$\displaystyle\text{ \begin{gathered}C = \left\{\left(1, 1, 1\right),{\left(1, 2, 3\right), {\left(2, -1, 1\right) \right\}\end{gathered} }$                         $\Large\displaystyleC = \left\{\left(1, 1, 1\right), \left(1, 2, 3\right), \left(2, -1, 1\right) \right\}$

Portanto nosso determinante é

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left|\begin{array}{c c c}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 2& -1 & 1\\ \end{array}\right|\end{gathered}$

Que fazendo as contas vamos obter que

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left|\begin{array}{c c c}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 2& -1 & 1\\ \end{array}\right| = 5 \ne 0\end{gathered}$

Portanto os vetores são L.I, logo eles são base.

Espero ter ajudado

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