Matemática, perguntado por dlleaguedsf, 5 meses atrás

Analisando a equação do segundo grau x² – 2x +1 = 0, podemos afirmar que ela possui:

A) nenhuma solução real.
B) uma única solução real.
C) duas soluções reais.
D) três soluções reais.
E) infinitas soluções reais.

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Podemos afirmar que a equação do 2º grau definida por x² – 2x + 1 = 0 possui uma única solução real, correspondendo à alternativa B).

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Sabemos que uma equação quadrática pode admitir no máximo até duas soluções, iguais ou distintas, logo as alternativas D) e E) estão anuladas. Contudo, não sabemos como são as soluções da equação dada a seguir:

$\Large\qquad\ \boxed{\begin{array}{l}\sf x^2-2x+1=0\end{array}}\\\\$

Poderíamos resolvê-la e encontrar as raízes, porém vamos fazer por um meio mais prático e rápido, veja. É sabido que numa equação quadrática o valor do discriminante (Δ) define quantas soluções a equação vai ter e se são reais ou não, observe:

$\boxed{\begin{array}{l}\sf Se~~\Delta > 0~\to~x_1~e~x_2\in\mathbb{R},~com~x_1\neq x_2\,;\\\\\sf Se~~\Delta=0~\to~x_1~e~x_2\in\mathbb{R},~com~x_1=x_2\,;\\\\\sf Se~~\Delta < 0~\to~x_1~e~x_2\notin\mathbb{R}\,.\end{array}}$

Isto é:

Seja Δ positivo, então temos duas soluções reais e distintas;
Seja Δ nulo, então temos duas soluções reais e iguais (podemos dizer que temos uma única solução real);
Seja Δ negativo, então não temos nenhuma solução real.

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Desta forma, lembrando que Δ = b² – 4ac, seja a equação x² – 2x + 1 = 0 de coeficientes: a = 1; b = – 2; c = 1, vamos calcular o valor do discriminante:

$\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf \Delta=b^2-4ac\\\\\sf\iff~~~\Delta=(-\,2)^2-4\cdot1\cdot1\\\\\sf\iff~~~\Delta=4-4\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf \Delta=0}}\end{array}\\\\$