Ana vende coco em uma praia do litoral brasileiro. Ela observou que quando vendia o coco por R$5,00 a unidade, eram vendidas 40 unidades por dia. Após algumas pesquisas com o público-alvo, percebeu que a cada 10 centavos de desconto no preço, 5 unidades a mais eram vendidas. Podemos afirmar que o preço a ser cobrado na unidade do coco para que a receita seja máxima deverá ser de:
(A) R$ 2,50.
(B) R$ 2,60.
(C) R$ 2,70.
(D) R$ 2,80.
(E) R$ 2,90.
Soluções para a tarefa
Ana terá receita máxima quando vender o coco a R$ 2,90. Letra e).
Vamos denominar as variáveis que vamos utilizar nos nossos cálculos:
- q = quantidade de unidades vendidas;
- v = valor pago por unidade;
- R = receita.
A receita equivale a quanto foi faturado ao longo de 1 dia de vendas na praia. Ela pode ser expressa pela fórmula:
R = q*v
Vamos portanto trabalhar com o valor base fornecido na questão, ou seja q = 40 unidades e v = 5 reais.
O enunciado nos fornece uma relação entre valor pago e unidades vendidas, quando diz que a cada 10 centavos (R$ 0,10) de desconto vendem-se 5 unidades a mais. Para cada redução de 10 centavos aumentam-se 5 unidades vendidas. Deste modo, para n*10 centavos de desconto teremos 5n unidades vendidas a mais. Matematicamente, isso pode ser representado como:
v ⇔ q
Substituindo os valores bases de q e v:
5 - 0,1n ⇔ 40 + 5n
Vamos agora substituir essa relação lá na fórmula da receita do começo:
R = q*v = (40 + 5n)*(5 - 0,1n) = 200 - 4n + 25n - 0,5n² = -0,5n² + 21n + 200
Agora temos que R é uma função do segundo grau. Como a < 0 sua concavidade está voltada para baixo, logo seu vértice é um ponto de máximo. O valor de X do vértice representará o valor de n para o qual teremos uma receita máxima. Vamos calcular ele?
Xv = -b/2a = -21/2*(-0,5) = -21/(-1) = 21
Logo, quando n = 21 temos uma receita máxima. Por fim devemos substituir o valor de n na relação que encontramos anteriormente para v:
v = 5 - 0,1n = 5 - 0,1*21 = 5 - 2,1 = R$ 2,90
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