Question

Ana Paula observou um conjunto de dez números inteiros, percebeu que a média dos dois menores é 102, dos três menores é 103, dos quatros menores é 104, e assim por diante, até a média de todos os dez é 110. Determine o maior desses inteiros?

Answer 1

Considere que os 10 inteiros são:

x₁ < x₂ < x₃ < x₄ < x₅ < x₆ < x₇ < x₈ < x₉ < x₁₀

De acordo com o enunciado, temos que:

$\frac{x_1+x_2}{2} = 102$

Logo, x₁ + x₂ = 204

$\frac{x_1+x_2+x_3}{3} = 103$

Como x₁ + x₂ = 204, então:

204 + x₃ = 309
x₃ = 105

$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} = 105$

Logo,

204 + 105 + x₄ = 416
x₄ = 107

$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = 105$

Logo,

204 + 105 + 107 + x₅ = 525
x₅ = 109

...

Perceba que os resultados estão pulando de 2 em 2.

Então, podemos concluir que:

x₁ = 101
x₂ = 103
x₃ = 105
x₄ = 107
x₅ = 109
x₆ = 111
x₇ = 113
x₈ = 115
x₉ = 117
x₁₀ = 119

Portanto, o maior inteiro é 119.