Question

An,2=20 (arranjo simples)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, AndreFelipe, que a resolução é simples.

Note que a fórmula de arranjo de "n" elementos  tomados "p" a "p" é dada por:

A(n, p) = n!/(n-p)! .

Portanto, tendo a relação acima como parâmetro, então se temos Arranjo de "n" elementos, tomados "2" a "2, então teremos isto:

A(n, 2) = n!/(n-2)! ------ como isso é igual a "20", então faremos assim:

n!/(n-2!) = 20

Veja: vamos no numerador e desenvolveremos "n!" até "(n-2)!". Assim, ficaremos com:

[n*(n-1)*(n-2)!]/(n-2)! = 20 ---- simplificando-se (n-2)! do numerador com (n-2)! do denominador, iremos ficar apenas com:

n*(n-1) = 20 ----- efetuando o produto indicado, teremos:
n² - n = 20 ---- passando "20" para o 1º membro, temos:
n² - n - 20 = 0 ---- vamos aplicar Bháskara, com o que ficaremos:

n = [-b+-√(Δ)]2*a

Note que na sua questão, tanto o Δ como os coeficientes são estes:

a = 1 ------- (é o coeficiente de n²)
b = - 1 ----- (é o coeficiente de n)
c = - 20 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b² - 4ac = (-1)² + 4*1*(-20) = 1 + 80 = 81.

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos;

n = [-(-1)+-√(81)]/2*1
n = [1 +- √(81)]/2 ------ como √(81) = 9, teremos:
n = [1 +- 9]/2 ----- daqui você conclui que:

n' = (1-9)/2 = (-8)/2 = - 4 <--- raiz inválida.Não há fatorial de número negativo.
n'' = (1+9)/2 = (10)/2 = 5 <--- raiz válida. 

Assim, a resposta será:

n = 5 <--- Esta é a resposta.

Observação: note que se você substituir "n" por "5" na expressão original [n!/(n-2)! = 20] vai encontrar exatamente que 20 = 20, o que prova que o valor de "n" será igual a 5 mesmo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.