Question

aman os valores de x que satisfazem a equação sen 7x + sen x = 0? heeelllpppp :)

Answer 1

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Enunciado:

Quais os valores de  x  que satisfazem a equação trigonométrica  sen 7x + sen x = 0?

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Solução:

Para facilitar, vamos usar uma das identidades de transformação de soma em produto (prostaférese):

     •   $\mathsf{sen(p)+sen(q)=2\cdot sen\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cdot cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)}$


Usando a identidade acima para  p = 7x  e  q = x,  a equação fica

     $\mathsf{sen\,7x+sen\,x=0}\\\\ \mathsf{2\cdot sen\!\left(\dfrac{7x+x}{2}\right)\cdot cos\!\left(\dfrac{7x-x}{2}\right)=0}\\\\\\ \mathsf{2\cdot sen\!\left(\dfrac{8x}{2}\right)\cdot cos\!\left(\dfrac{6x}{2}\right)=0}\\\\\\ \mathsf{2\cdot sen\,4x\cdot cos\,3x=0}$


Dividindo os dois lados por  2,

     $\mathsf{sen\,4x\cdot cos\,3x=0}$   <———   equação-produto.


O produto se anula somente se algum dos fatores se anula. Logo, devemos ter

     $\mathsf{sen\,4x=0\quad~ou~\quad cos\,3x=0\qquad\quad(i)}$

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Resolva cada equação separadamente, e depois faça a união das soluções.

•   $\mathsf{sen\,4x=0}$

     $\mathsf{4x=0+k\cdot \pi}$

     $\mathsf{x=k\cdot \dfrac{\pi}{4}}$          ✔

com  k  inteiro.


...  ou ...


•   $\mathsf{cos\,3x=0}$

     $\mathsf{3x=\dfrac{\pi}{2}+k\cdot \pi}$


Divida os dois lados por  3:

     $\mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot \dfrac{\pi}{3}}$


Reduza as frações ao mesmo denominador comum: mmc(6, 3) = 6.  Depois coloque  π/6  em evidência:

     $\mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}+k\cdot \dfrac{2\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{x=(1+k\cdot 2)\cdot \dfrac{\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{x=(2k+1)\cdot \dfrac{\pi}{6}}$

com  k  inteiro.

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Portanto, o conjunto solução é

     $\mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~x=k\cdot \dfrac{\pi}{4}~~ou~~x=(2k+1)\cdot \dfrac{\pi}{6}\,,~~com~~k\in\mathbb{Z}\right\}}$


Bons estudos! :-)