Question

Alternativas:
(A) a/b.
(B) b/a.
(C) a.
(D) b.
(E) a - b.

Answer 1

Essa questão é interessante... Vamos lembrar alguns conceitos.

$(a - b) {}^{2} = a {}^{2} - 2ab + b {}^{2} \\ \\ \\ (x + y)(x - y) = x {}^{2} - y {}^{2}$

Agora a questão:

$x = \dfrac{1}{2} ( \sqrt{ \dfrac{a}{b} } - \sqrt{ \dfrac{b}{a} } )$

Observe que, para achar o valor de e, precisamos encontrar o valor de x². Vamos elevar a equação acima ao quadrado:

$x {}^{2} = \dfrac{1}{4} ( \dfrac{a}{b} - 2 \sqrt{ \dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} } + \dfrac{b}{a} ) \\ \\ \\ x {}^{2} = \dfrac{1}{4} ( \dfrac{a {}^{2} + b {}^{2} }{ab} - 2 \sqrt{ 1 } ) \\ \\ x {}^{2} = \dfrac{a {}^{2} - 2ab + b {}^{2} }{4ab} \\ \\ x {}^{2} = \dfrac{(a - b) {}^{2} }{4ab} \\ \\ x = \dfrac{(a - b)}{2} \sqrt{ab {}^{ - 1} }$

$x {}^{2} + 1 = \dfrac{a {}^{2} - 2ab + b {}^{2} }{4ab} + 1 \\ \\ x {}^{2} + 1 = \dfrac{a {}^{2} + 2ab + b {}^{2} }{4ab} = \dfrac{(a + b) {}^{2} }{4ab} \\ \\ \sqrt{x {}^{2} + 1 } = \dfrac{(a + b)}{2} \sqrt{ab {}^{ - 1} }$

Vamos trabalhar na fração principal agora que temos o valor de x e x²+1.

$e = 2a \times \dfrac{ \sqrt{1 + x {}^{2} } }{x + \sqrt{1 + x {}^{2} } }$

Vou substituir os valores encontrados:

$e = 2a \times \dfrac{ \dfrac{a + b}{2} \times \sqrt{ab {}^{ - 1} } }{ \dfrac{(a - b) \sqrt{ab {}^{ - 1} } }{2} + \dfrac{(a + b) \sqrt{ab} {}^{ - 1} }{2} }$

Dividindo tudo por:

$\dfrac{ \sqrt{ab {}^{ - 1} } }{2}$

Vai ficar:

$e = 2a \times \dfrac{a + b}{a - b + a + b} \\ \\ e = 2a \times \dfrac{a + b}{2a} \\ \\ e = a + b$

Não tem essa alternativa'-'