Question

alquem ajuda? equação: log x na base 3 + log x na base 9 = 3

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Allvez, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte equação logarítmica:

log₃ (x) + log₉ (x) = 3

Primeiro vamos ver quais são as condições de existência. Como só existe logaritmos de números positivos (> 0), então vamos impor que o logaritmando (x) seja positivo, ou seja, deveremos impor que:

x > 0 ------ Esta é a única condição de existência da expressão acima. 

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja que a base "9" = 3². Assim, ficaremos com:

log₃ (x) + log₃² (x) = 3

ii) Agora note mais isto que é importante: o inverso do expoente da BASE passa a multiplicar o respectivo log. Assim, ficaremos da seguinte forma (note que o inverso de "2" é "1/2"):

log₃ (x) + (1/2)*log₃ (x) = 3 ----- note que "1/2" passará a ser expoente do respectivo logaritmando, com o que ficaremos assim:

log₃ (x) + log₃ (x¹/²) = 3 ----- como as bases são iguais, então poderemos transformar a soma em produto, com o que ficaremos assim:

log₃ (x*x¹/²) = 3 ---- note que o primeiro "x" que está sem expoente ele tem, na verdade, expoente igual a "1". É como se fosse assim:

log₃ (x¹ * x¹/²) = 3 ---- veja que temos, no logaritmando (x¹ * x¹/²) uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Então ficaremos assim:

log₃ (x¹⁺¹/²) = 3 ----- note que 1+1/2 = 3/2. Assim, ficaremos:

log₃ (x³/²) = 3 ----- agora veja: aplicando a definição de logaritmo, o que está aí ao lado é a mesma coisa que:

3³ = x³/² ----- veja que x³/² = √(x³) . Assim, fazendo mais essa substituição, temos:

3³ = √(x³) ----- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos assim:

(3³)² = [√(x³)]² ----- desenvolvendo, ficaremos com:
3³*² = x³ ---- continuando o desenvolvimento, teremos:
3⁶ = x³ ---- vamos apenas inverter, ficando assim:
x³ = 3⁶
x = ∛(3⁶) ----- veja que 3⁶ = 3³ * 3³. Assim:
x = ∛(3³*3³) ---- como os dois "3" estão ao cubo, então eles saem de dentro da raiz cúbica, com o que ficaremos assim:

x = 3 * 3
x = 9 <--- Esta é a resposta. Este é o valor de "x". E veja que sendo x = 9 ele está obedecendo à condição de existência, que, como vimos antes, "x" teria que ser positivo (> 0).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.