Question

alquem ajuda? equação: log x na base 3 = 1+ log 9 na base x

Answer 1

Existência:
- o logaritmando deve ser positivo, portanto x > 0;
- a base deve ser positiva e diferente de 1, portanto x > 0 e x ≠ 1;
- fazendo a intersecção, temos x > 0 e x ≠ 1

Resolução:

log x na base 3 = 1 + (log 9 na base 3) / (log de x na base 3)

Usei a propriedade de mudança de base

log x na base 3 = 1 + 2 / (log x na base 3)

Calculei usando a definição: log 9 na base 3 = c ⇒ 3 elevado a c = 9 
                                              3 elevado a c = 3² ⇒ c = 2

Voltando à equação:
O mmc é log x na base 3
Então fica:
(log² x na base 3) / (log x na base 3) =
                              = [(log x na base 3) + 2] / (log x na base 3) ⇒
⇒ log² x na base 3 = (log x na base 3) + 2 ⇒
⇒ log² x na base 3 - (log x na base 3) - 2

Chamando log x na base 3 de y, temos: y² - y - 2 = 0, que é uma equação do 2º grau em que a = 1, b = -1 e c = -2

Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.1.(-2) = 1 + 8 = 9

y = (-b +- √Δ) / 2a
y = (-(-1) +- √9) / 2.1 = (1 +- 3) / 2
y' = (1 - 3) / 2 = -2/2= -1
y" = (1 + 3) / 2 = 4/2 = 2

Mas log x na base 3 = y, portanto,

log x na base 3 = -1       ou      log x na base 3 = 2
3 elevado a -1 = x                    3² = x
x = 1/3                                       x = 9

Os dois valores encontrados satisfazem a existência, ou seja, são positivos e diferentes de 1.

Portanto, S = {1/3, 9}