Question

Algumas aplicações práticas da integral definida são o cálculo de áreas e de volumes de sólidos de revolução.

1) Calcular a área limita da pela função f(x) = 3x² + 1, pelo eixo dos X, e pelas retas x=0 e x=1, conforme mostra a figura:
GRAFICO:

Y I
   I
4 I _ _ _
   I      I
   I      I
   I      I
_ I _ _ I_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
0 I       1                         X

NOTA: Não precisa digitar os símbolos de integral. Escreva a função F(x) primitiva de f(x) = 3x² + 1, e em seguida calcule a área A = F(b) - F(a), sendo a e b os limites de integração.

2) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos X da área sombreada do exercício 1, ou seja, gerado pela função

y = 3x² + 1 , sabendo que é dado pela fórmula: V = π. ∫bay²dx.

Por favor respondam a pergunta 1 e 2. Grato a todos que ajudarem.

Answer 1

1) $f\left(x \right )=3x^{2}+1$

Calcular a área $A$ limitada pelo eixo $x$ e pelas retas $x=0$ e $x=1$:

$A=\int_{0}^{1}{f\left(x \right )\,dx}\\ \\ A=\int_{0}^{1}{\left(3x^{2}+1 \right )\,dx}\\ \\ A=\left.\left(x^{3}+x \right ) \right ]_{0}^{1}\\ \\ A=\left(1^{3}+1 \right )-\left(0^{3}+0 \right )\\ \\ A=\left(1+1 \right )-\left(0 \right )\\ \\ A=2\text{ u.a.}$


2) $y=3x^{2}+1$


$V=\pi\cdot \int_{0}^{1}{y^{2}\,dx}\\ \\ V=\pi\cdot \int_{0}^{1}{\left(3x^{2}+1 \right )^{2}\,dx}\\ \\ V=\pi\cdot \int_{0}^{1}{\left(9x^{4}+6x^{2}+1 \right )\,dx}\\ \\ V=\pi\cdot \left.\left(\dfrac{9x^{5}}{5}+2x^{3}+x \right )\right]_{0}^{1}\\ \\ V=\pi\left[\,\left(\dfrac{9\cdot 1^{5}}{5} +2\cdot 1^{3}+1 \right )-\left(\dfrac{9\cdot 0^{5}}{5} +2\cdot 0^{3}+0 \right )\, \right ]\\ \\ V=\pi\left[\,\left(\dfrac{9\cdot 1}{5} +2\cdot 1+1 \right )-\left(0 \right )\, \right ]\\ \\ V=\pi\left[\,\dfrac{9}{5} +2+1 \, \right ]\\ \\ V=\pi\left[\,\dfrac{9}{5} +3 \, \right ]\\ \\ V=\pi\left[\,\dfrac{9+15}{5} \, \right ]\\ \\ V=\dfrac{24\pi}{5} \text{ u.v.}$