Question

Algum amigo pode me ajudar nessa questão cabulosa de calculo?

Answer 1

primero hallemos cada diferencial:

1) $yz\,dx=(a \sin t)\cdot(kt)\; d(a \cos t)=-a^2kt\sin^2t\,dt$
2) $xz\,dy=(a\cos t)\cdot(kt)\,d(a\sin t)=a^2kt\cos^2t\,dt$
3) $xy\,dz=(a\cos t)\cdot(a\sin t)\,d(kt)=a^2k\sin t\cos t\,dt$

Entonces

$yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz=(-a^2kt\sin^2t+a^2kt\cos^2t+a^2k\sin t\cos t)\,dt\\ \\ yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz=(a^2kt\cos 2t+0.5\,a^2k\sin 2t)\,dt\\ \\ \\ \displaystyle \int_{\gamma}yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz=\int_{0}^{2\pi}(a^2kt\cos 2t+0.5\,a^2k\sin 2t)\,dt\\ \\ \\ \int_{\gamma}yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz=0$