Question

Alguém sabes outras formas de calcular a tg(x/2) alem de tg²(x/2)=(1-cosx)/(1+cosx)

Answer 1

$\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2} \right )=\dfrac{\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2} \right )}{\cos \left(\frac{x}{2} \right )}$


Como $\cos \left(\frac{x}{2} \right )\neq 0,$ multiplicando o numerador e o denominador por $2\cos \left(\frac{x}{2} \right ),$ temos

$\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2} \right )=\dfrac{2\cos\left(\frac{x}{2} \right )\mathrm{sen}\left(\frac{x}{2} \right )}{2\cos^{2} \left(\frac{x}{2} \right )}$


Pela identidade do arco-duplo, o numerador é igual a $\mathrm{sen}(x):$

$\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2} \right )=\dfrac{\mathrm{sen}(x)}{2\cos^{2} \left(\frac{x}{2} \right )}$


Subtraindo e adicionando $1$ ao denominador, temos

$\mathrm{tg}\left(\frac{x}{2} \right )=\dfrac{\mathrm{sen}(x)}{\left[2\cos^{2} \left(\frac{x}{2} \right )-1 \right ]+1}$


Novamente pela identidade do arco duplo, o termo dentro dos colchetes no denominador é igual a $\cos(x):$

$\boxed{\begin{array}{c} \mathrm{tg}\left(\frac{x}{2} \right )=\dfrac{\mathrm{sen}(x)}{\cos(x)+1} \end{array}}$


Note que na fórmula acima, a tangente não aparece elevada ao quadrado!!