Question

Alguém saberia me responder essa questão de matemática? Não estou conseguindo fazer.

Answer 1

$4^{x-1}+2^{x-1}=\dfrac{5}{16}$

Veja que $4=2^2$. Substituindo:

$(2^2)^{x-1}+2^{x-1}=\dfrac{5}{16}$

$2^{2x-2}+2^{x-1}=\dfrac{5}{16}$

Note que $2^{2x-2}=2^{2x}\cdot2^{-2}=\dfrac{2^{2x}}{2^2}=\dfrac{2^{2x}}{4}$.

Analogamente; $2^{x-1}=2^{x}\cdot2^{-1}=\dfrac{2^{x}}{2}$. Assim:

$\dfrac{2^{2x}}{4}+\dfrac{2^{x}}{2}=\dfrac{5}{16}$

Mas; $2^{2x}=(2^{x})^2$. 

$\dfrac{(2^{x})^2}{4}+\dfrac{2^{x}}{2}=\dfrac{5}{16}$

Substituindo $2^{x}$ por $y$:

$\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{y}{2}=\dfrac{5}{16}$

$4y^2+8y=5$

$4y^2+8y-5=0$

$\Delta=8^2-4\cdot4\cdot(-5)=64+80=144$

$y=\dfrac{-8\pm\sqrt{144}}{2\cdot4}=\dfrac{-8\pm12}{8}$

$y'=\dfrac{-8+12}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

$y"=\dfrac{-8-12}{8}=\dfrac{-20}{8}=-\dfrac{5}{2}$ (desconsidere; pois $2^{x}>0$)

Logo; $2^{x}=\dfrac{1}{2} \iff 2^{x}=2^{-1} \iff \boxed{x=-1}$

Answer 2

_4^x_ + _2^x_ = _5_
    4           2        16
observando  4^x ⇒ (2²)^x ⇒ (2^x)²
_(2^x)²_  + _2^x_ = _5_
      4              2        16
chamando (2^x) de M
_M²_ + _M_ = _5_
  4          2         16
m.m.c ⇒ 16
4M² + 8M - 5 = 0
M = _-8+-√[(8)² - 4(4)(5)]_
                   2(4)
M = _-8 +-√144_
                8
M' = -8 + 12_ ⇒ M' = _4_ ⇒ M' = _1_
             8                     8                2
M'' = -8 - 12_ ⇒ M'' - _20_ ⇒ M'' = - _5_ (não serve!)
            8                      8                     2
2^x = _1_ ⇒ 2^x = 2^(-1) ⇒ x = -1
            2
resposta:x = -1