Question

Alguém saberia me explicar passo a passo como ficaria a derivada abaixo?!

$y=x^x$

Answer 1

Olá, Alice.

Observe que $e^{\ln x}=x\Rightarrow (e^{\ln x})^x=x^x\Rightarrow x^x=e^{x\ln x}$

Fazendo agora $f(x)=e^x$ e $g(x)=x\ln x$, temos que $x^x=f(g(x))$

Podemos agora aplicar a Regra da Cadeia:

$(x^x)'=f'(g(x))\cdot g'(x)=\underbrace{e^{x\ln x}}_{=x^x}\cdot(\ln x+x\cdot\frac1x)=\boxed{x^x(\ln x+1)}$

Answer 2

Sendo $u$ e $v$ funções de $x$, então a derivada de $u^{v}$ em relação a $x$ é dada pela seguinte regra:

Derivada da função composta de exponenciais:

$\left(u^{v} \right )'=v\cdot u^{v-1}\cdot u'+u^{v}\cdot \mathrm{\ell n}\left(u \right )\cdot v'$


Para a função $f\left(x \right )=x^{x}$, temos

$u=v=x$


Aplicando na fórmula da derivada da composta de exponenciais, temos

$f\left(x \right )=x^{x}\\ \\ \\ f'\left(x \right )=x\cdot x^{x-1}\cdot \left(x \right )'+x^{x}\cdot \mathrm{\ell n}\left(x \right )\cdot \left(x \right )'\\ \\ f'\left(x \right )=x\cdot x^{x-1}\cdot 1+x^{x}\cdot \mathrm{\ell n}\left(x \right )\cdot 1\\ \\ f'\left(x \right )=x^{x}+x^{x}\cdot \mathrm{\ell n}\left(x \right )\\ \\ f'\left(x \right )=x^{x}\cdot \left[\,1+\mathrm{\ell n} \left(x \right )\,\right]$