Question

Alguém sabe responder essa aqui pessoal? Obrigado

Answer 1

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf Resposta: - \frac{1}{2}e {}^{ - 3} + \frac{1}{2} }}}$

Temos a seguinte integral:

$\sf I = \int \limits _ { 1}^{2}x.e {}^{ - x {}^{2} + 1}$

Primeiro vamos esquecer esses limites de integração e trabalhar apenas com a integral de fato então teremos que:

$\sf \int x .{e}^{ - x {}^{2} + 1} dx$

Vamos resolver por substituição, a função que será denominada de "u" está no expoente do número de Euler, então temos:

$\sf u = - x {}^{2} + 1$

Derivando "u" em relação a "x":

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (- x {}^{2} + 1)\Longleftrightarrow \frac{du}{dx} = - 2x\Longleftrightarrow du = - 2xdx$

Mas observe que não temos "-2x", mas sim "x", então podemos passar o -2 dividindo o du:

$\sf du = - 2xdx\Longleftrightarrow - \frac{du}{2} = dx$

Fazendo as substituições relacionadas a "u":

$\sf \int x.e {}^{ - x {}^{2} + 1} \Longleftrightarrow \int - \frac{du}{2} .e {}^{u} \Longleftrightarrow - \frac{1}{2} \int e {}^{u} du$

A integral de no número de Euler é o primeiro número de Euler, então a integração é:

$\sf - \frac{1}{2} \int e {}^{u} du\Longleftrightarrow - \frac{1}{2} e {}^{ - x {}^{2} + 1}$

Agora vamos repor os intervalos de integração

$\sf - \frac{e {}^{ - x {}^{2} + 1 } }{2} \bigg|_ { 1}^{2}$

Vamos agora aplicar o Teorema fundamental do cálculo, que diz:

$\sf \int \limits _ { a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)\Longrightarrow\bigg|_ { a}^{b}$

Aplicando o tal teorema:

$\sf - \frac{e {}^{ - 2 {}^{2} + 1} }{2} + \frac{e {}^{ - 1 {}^{2} + 1} }{2} \Longleftrightarrow - \frac{e {}^{ - 3} }{2} + \frac{e {}^{0} }{2}\Longleftrightarrow - \frac{1}{2}e {}^{ - 3} + \frac{1}{2}$

Espero ter ajudado