Question

Alguém sabe responder essa aqui galerinha? Tô com dificuldades!!

Answer 1

$\large\boxed{\boxed{\sf Resposta: \sf\frac{\ln(2)}{2}}}$

Temos a seguinte integral definida:

$\sf I_1 = \int \limits _ { 0}^{1} \frac{x}{x {}^{2} + 1} dx$

Para que possamos aplicar os limites de integração, devemos primeiro fazer a integração da função que está dentro do integrando. Primeiro vamos esquecer os limites, ficando apenas com:

$\sf \int \frac{x}{x {}^{2} + 1 } dx$

Para integrar podemos usar o método da substituição, ele é usado quando tem-se uma função e a sua derivada ao mesmo tempo, essa tal função deve ser chamada de "u" e após isso derivada. No nosso caso "u" será x² + 1, derivando:

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{2} + 1)\Longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 2x\Longleftrightarrow du = 2xdx$

Observe que não temos 2x, mas sim x, então podemos passar o 2 dividindo o "du":

$\sf du = 2xdx\Longleftrightarrow \frac{du}{2} = dx$

Vamos substituir as expressões pelas novas expressões que obtemos:

$\sf \int \frac{ \frac{du}{2} }{u} \Longleftrightarrow \frac{1}{2} \int \frac{du}{u}$

Esse 1/2 foi gerado através da retirada do número constante 1/2 que acompanhava o du/2, já que constantes transitam livremente para dentro e fora da integral$\sf \int k.f(x)dx = k \int f(x)dx$. Note que aquela integral é familiar, o resultado dela é dado por:

$\boxed{ \boxed{\sf \int \frac{du}{u} = ln( |u| ) + L }}$

Então podemos dizer que:

$\sf \frac{1}{2} \int \frac{du}{u}\Longleftrightarrow \frac{1}{2} . ln(u) + L \Longleftrightarrow \frac{ ln(x {}^{2} + 1) }{2} + L$

Agora é só aplicar os limites de integração nesse resultado, através do Teorema fundamental do cálculo, que diz:

$\sf \int \limits _ { a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)\Longrightarrow\bigg|_ { a}^{b}$

Aplicando o tal teorema:

$\sf \frac{ ln( \mid{x}^{2} + 1 \mid) }{2} \bigg|_ { 0}^{1} \Longleftrightarrow \frac{ ln( \mid1{}^{2} + 1 \mid ) }{2} - \frac{ ln( \mid0 {}^{2} + 1 \mid ) }{2} \\ \\ \sf \frac{ ln(2) }{2} - \frac{ ln(1) }{2} \Longleftrightarrow \frac{ ln(2) - ln(1) }{2}$

Esse resultado que obtemos não é igual à nenhuma das alternativas, mas ainda podemos modificar ele, através das propriedades de logaritmos, lembre-se que:

$\sf ln(a) - ln(b) = ln \left( \frac{a}{b} \right)$

Aplicando a propriedade, temos que:

$\sf \frac{ ln(2) - ln(1) }{2} \Longleftrightarrow \frac{ ln \left( \frac{2}{1} \right) }{2} \Longleftrightarrow \frac{ ln(2) }{2}$

Espero ter ajudado