Question

Alguém sabe responder?​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y = \tg( - x {}^{2} + 1)$

A questão quer saber a reta tangente e a reta normal a essa curva. Para isso devemos primeiro lembrar que:

• A derivada é justamente o coeficiente angular da reta tangente, ou seja, se derivarmos essa função, o resultado será o coeficiente angular da reta tangente.

Aplicando a derivação na função:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \tg( - x {}^{2} + 1)$

Note que essa função é composta, ou seja, é necessário aplicarmos a regra da cadeia, então vamos iniciar nomeando as funções:

$y = \tg(u) \: \: e \: \: u = - x {}^{2} + 1$

A regra da cadeia nos diz que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx}}$

Portanto temos que derivar a função "y" e multiplicar pela derivada da função "u":

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} \tg(u). \frac{d}{dx} ( - x {}^{2} + 1) \\ \\ \frac{dy}{dx} = \sec {}^{2} (u).( - 2x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = - 2x \sec {}^{2} (u)\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Repondo a função que representa "u":

$\boxed{\frac{dy}{dx} = - 2x \sec {}^{2} ( - x {}^{2} + 1)}$

Agora devemos partir para encontrar o valor numérico desse coeficiente angular, o processo será basicamente substituir o valor de "x" e "y" do ponto em que a reta tangente passa, mas como você pode ver só temos x = 1, para encontrar o valor que "y", basta substituir o valor de "x" lá na função "y" inicial:

$y = \tg( - 1 {}^{2} + 1) \\ y = \tg( - 1 + 1) \: \\ y = \tg(0) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ y = 0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Logo concluímos que o ponto é P(1,0), então vamos substituir os valores na relação dy/dx:

$\frac{dy}{dx} = - 2.1 \sec {}^{2}( - 1 {}^{2} + 1) \\ \\ \frac{dy}{dx} = - 2 \sec {}^{2} (0) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = - 2.1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\frac{dy}{dx} = - 2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto temos que o coeficiente angular é igual a -2, ou seja, m = -2. Para finalizar e montar a equação da reta tangente, basta substituir o valor de "m" e os valores do ponto de tangência na equação fundamental da reta:

$y- y_0=m.(x-x_0) \\ \\ y - 0 = - 2.(x - 1) \: \: \\ \\ y = - 2x + 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

A equação da reta normal é basicamente uma reta que é perpendicular a reta tangente, ou seja, para descobrir o seu coeficiente angular, basta usar aquela relação que diz que o coeficiente angular de uma reta perpendicular é o inverso do oposto do coeficiente da outra, ou seja:

$m_2 = \frac{ - 1}{ m_1} \longrightarrow m_2 = \frac{ - 1}{ - 2} \longrightarrow m_2 = \frac{1}{2}$

Usando o mesmo ponto e esse coeficiente, temos que a equação é:

$y-y_0=m.(x-x_0) \\ \\ y - 0 = \frac{1}{2} .(x - 1) \: \: \: \: \\ \\ \boxed{y = \frac{x - 1}{2}} \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado