Question

Alguém sabe resolver? Preciso da resolução toda.

Answer 1

O fatorial de $2m$ é:

$(2m)! = (2m) \times (2m - 1) \times (2m - 2) \times (2m - 3) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1.$

Uma vez que $2m$ é um número par, separamos os fatores pares dos ímpares:

$(2m)! = \underbrace{\left[(2m)\times (2m - 2) \times \dots \times 2\right]}_{\textrm{pares}} \times \underbrace{\left[(2m - 1)\times (2m - 3) \times \dots \times 3 \times 1\right]}_{\textrm{\'{i}mpares}}.$

Relativamente aos fatores pares, notamos que podemos colocar $m$ fatores de $2$ em evidência:

$(2m)\times (2m - 2) \times \dots \times 2 = 2m \times 2(m-1) \times 2(m-2) \dots \times 2\times 1 =\\\\= \underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{=2^m} \times \underbrace{m \times (m-1) \times (m-2) \times 2 \times 1}_{=m!} = 2^m \times m!.$

Assim, temos:

$(2m)! = (2^m \times m!) \times \left[(2m - 1)\times (2m - 3) \times \dots \times 3 \times 1\right].$

Isto é equivalente a escrever:

$\dfrac{(2m)!}{(2^m \times m!) \times \left[(2m - 1)\times (2m - 3) \times \dots \times 3 \times 1\right]} = 1.$

Dividindo ambos os lados por $(2m+1)$, vem:

$\dfrac{(2m)!}{(2^m \times m!) \times \left[(2m - 1)\times (2m - 3) \times \dots \times 3 \times 1\right] \times (2m+1)} = \dfrac{1}{2m+1}.$

Notamos que construímos o lado esquerdo da igualdade:

$\dfrac{1}{2m+1} = \dfrac{(2m)!}{(2^m \times m!) \times \left[(2m - 1)\times (2m - 3) \times \dots \times 3 \times 1\right] \times (2m+1)} = \dfrac{1}{9}.$

Assim, basta agora resolver a equação simples:

$\dfrac{1}{2m+1} = \dfrac{1}{9} \iff 2m+1 = 9 \iff 2m = 8 \iff m = 4.$

Resposta: $\boxed{m = 4}.$