Question

Alguem sabe resolver essa????
Determine o valor de

Answer 1

Primeiro se utiliza a propriedade:

$\int (f(x) + g(x)) \cdot dx = \int f(x) \cdot dx + \int g(x) \cdot dx$

Para separarar em uma soma de integrais:

$\int_2^4 x^4 \cdot dx + \dfrac{5}{e} \cdot \int_2^4 e^{2 \cdot x} \cdot dx + 7 \cdot 3^2 \cdot \int_2^4 3^{\frac{x}{2}} \cdot dx + 4 \cdot \int_2^4 \dfrac{1}{x} \cdot dx + \dfrac{2}{ln(5)} \cdot \int_2^4 \dfrac{1}{x} \cdot dx$

Agora calcula uma a uma:

$\int_2^4 x^4 \cdot dx = \dfrac{x^5}{5} \bigg|_2^4 = \left(\dfrac{4^5}{5} - \dfrac{2^5}{5}\right) = \dfrac{1024}{5} - \dfrac{32}{5} = \dfrac{992}{5}$

$\dfrac{5}{e} \cdot \int_2^4 e^{2 \cdot x} \cdot dx = \dfrac{5}{e} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot x} \bigg|_2^4 = \dfrac{5}{2 \cdot e} \cdot \left(e^{2 \cdot 4} - e^{2 \cdot 2}\right) = \dfrac{5}{2 \cdot e} \cdot (e^8 - e^4)$

$7 \cdot 9 \cdot \int_2^4 \sqrt{3}^{x} \cdot dx = 63 \cdot \dfrac{\sqrt{3}^{x}}{\ln(\sqrt{3})}\bigg|_2^4 = \dfrac{63}{\ln(\sqrt{3})} \cdot \left(\sqrt{3}^4 - \sqrt{3}^2 \right) = \dfrac{63}{\ln(\sqrt{3})} \cdot \left(9 - 3 \right) = \dfrac{63 \cdot 6}{\ln(\sqrt{3})} = \dfrac{378}{\ln(\sqrt{3})}$

$4 \cdot \int_2^4 \dfrac{1}{x} \cdot dx = 4 \cdot \ln|x|_2^4 = 4 \cdot (\ln(4) - \ln(2))$

$\dfrac{2}{\ln|5|} \cdot \int_2^4 \dfrac{1}{x} \cdot dx = \dfrac{2}{\ln|5|} \cdot \ln|x|_2^4 = \dfrac{2}{\ln|5|} \cdot (\ln|4| - \ln|2|)$

Agora, agrupando tudo:

$\dfrac{992}{5} + \dfrac{5}{2 \cdot e} \cdot (e^8 - e^4) + \dfrac{378}{\ln(\sqrt{3})} + 4 \cdot (\ln(4) - \ln(2)) + \dfrac{2}{\ln|5|} \cdot (\ln|4| - \ln|2|) \approx 3581,54385$