Question

alguém sabe resolver?

Answer 1

Aplicando a primeira regra de L´Hopital, temos que o limite a ser calculado resulta em 3.

Para entendermos mais sobre esse resultados, precisamos revisar sobre como calcular limites que resultam em indeterminações e o que é a primeira regra de L´Hopital.

Como calcular limites com indeterminações?

Dentro do estudo dos limites de uma função, nos deparamos com casos em que obtemos um resultado de  $\frac{0}{0}$, ou seja, uma indeterminação.

Um dos métodos de contornar e resolver problemas que contam com essa indeterminação é aplicar a primeira regra de L´Hopital. Tal regra basicamente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, caso as condições necessárias para a regra sejam cumpridas, que são:

• Sendo o limite de forma $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$, f(x) e g(x) tem que ser funções diferenciáveis.
• A derivada de g(x) deve ser diferente de 0.
• $\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0$  ou  $\lim_{x\to a} f(x) =\pm \infty$ e $\lim_{x\to a} g(x) =\pm \infty$

Observando nossa função, temos que $\lim_{x\to 64} \frac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt[3]{x} - 4 }$ é de forma que satisfaz as condições da regra de L´Hopital. Logo, podemos aplicar o teorema de modo que:

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Temos que:

• $f(x) = \sqrt{x} - 8 \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x} }$
• $g(x) = \sqrt[3]{x} - 4 \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{3x^{2/3} }$

Logo, realizamos:

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \Rightarrow \lim_{x\to 64} \frac{\sqrt{x} -8}{\sqrt[3]{x} - 4 } = \lim_{x\to 64} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x} } }{\frac{1}{3x^{2/3}} }$

Substituindo o valor de x por 64 na equação, obtemos:

$\lim_{x\to 64} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x} } }{\frac{1}{3x^{2/3}} } = \frac{\frac{1}{2\sqrt{64} } }{\frac{1}{3*64^{2/3}} } = \frac{\frac{1}{2*8 } }{\frac{1}{3*16}} = \frac{\frac{1}{16} }{\frac{1}{48}} = \frac{1}{16} * \frac{48}{1} = \frac{48}{16} = 3$

Portanto, temos que $\lim_{x\to 64} \frac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt[3]{x} - 4 } = 3$.

Veja mais sobre a regra de L´Hopital em: https://brainly.com.br/tarefa/38267732

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