Question

Alguém sabe resolver ?

Answer 1

A resposta é a letra A

Resp:
Fx2x-fx0 e dividi por x
Fx2x-0
2fx-0
2fx

Answer 2

Primeiramente,vamos calcular o domínio da função logarítmica “f(x)=ln(3x+1)”.

Sabemos das condições de existência do logaritmo (C.E.),que o logaritmando deve ser maior que zero (positivo),com isso temos:

3x+1>0 <=>
3x>(-1) <=>
x>(-1)/3

Logo,o domínio da função logarítmica será:

D(f)={x E R: x>(-1)/3}


Antes de calcular o limite proposto,vamos calcular o valor da função “f(x)=ln(3x+1)” em “2x” e “0”,ou seja:

f(x)=ln(3x+1)
f(2x)=ln[3(2x)+1]=ln(6x+1)
f(0)=ln(3.0+1)=ln(1)=0


Agora,vamos à resolução do limite proposto:

lim [f(2x)-f(0)/x]=
x—>0+
lim [ln(6x+1)-0/x]=
x—>0+
lim [ln(6x+1)/x]=
x—>0+
lim [ln(6x+1).(1/x)]=
x—>0+
lim [(1/x).ln(6x+1)]=
x—>0+
lim [ln(6x+1)^(1/x)]=
x—>0+
ln[lim (6x+1)^(1/x)] (i)
    x—>0+


Em seguida,para calcularmos o limite-logaritmando em “(i)”,teremos que ter em mente um famoso limite,conhecido como limite fundamental exponencial (ou limite exponencial fundamental),limite esse é o que resulta no número “e” (de Euler).Supondo conhecido o limite exponencial fundamental,vamos calcular o limite encontrado em “(i)”,ou seja,o seguinte limite:

lim (6x+1)^(1/x) (ii)
x—>0+

Para calcularmos o limite acima,faremos uma substituição de variável,chamaremos “(1/x)” de “6k” e analisaremos o índice inferior do limite:

(1/x)=6k e lim (1/x)=+oo*
                 x—>0+

Isso acarreta:

(6k)—>+oo <=> k—>+oo

Logo,o limite em “(ii)” se transformaria em:

lim (6x+1)^(1/x)=lim [(1/k)+1]^(6k)=
x—>0+              k—>+oo
lim {[(1/k)+1]^(k)}^(6)=
k—>+oo
{lim [1+(1/k)]^(k)}^(6) (iii)
k—>+oo

Sabemos que o limite-base da potência encontrada em “(iii)” é o exponencial fundamental (resulta no número de Euler),com isso resolveremos o limite em “(iii)”:

lim [1+(1/k)]^(k)=e
k—>+oo

(Voltando em (iii))

{lim [1+(1/k)]^(k)}^6=e^(6) (iv)
k—>+oo

Substituindo “(iv)” em “(i)”,teremos que o limite resulta em:

ln[lim (6x+1)^(1/x)]=
    x—>0+
ln{lim {[1+(1/k)]^(k)}^(6)}=
    k—>+oo
ln[e^(6)]=6.ln(e)=6.1=6


O que resulta em 6.



* "+oo" representa " mais infinito"




Abraçosss!!