Question

alguém sabe?? por favor me ajudem

Answer 1

$x=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{...}}}}$


Note que o termo do denominador é o próprio $x$, ou seja:

$x=1+\dfrac{1}{x}$


Resolvendo esta equação, temos

$x=1+\dfrac{1}{x}\\ \\ x=\dfrac{x+1}{x}\\ \\ x^{2}=x+1\\ \\ x^{2}-x-1=0\\ \\ \\ \Delta=\left(-1 \right )^{2}-4\cdot \left(1 \right ) \cdot \left(-1 \right )\\ \\ \Delta=1+4\\ \\ \Delta=5\\ \\ \\ x=\dfrac{-\left(-1 \right )\pm \sqrt{5}}{2 \cdot \left(1 \right )}\\ \\ x=\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\\ \\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}&\text{ ou }&x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\\ \end{array}$


A solução negativa não se aplica, logo

$x=\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow \boxed{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{...}}}}=\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}$