Question

Alguem sabe fazer a Nº5 ae ?

Answer 1

$I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{16x}{8x^{2}+2}\,dx}$


Se você notar bem, o numerador é a derivada do denominador. Então, uma substituição adequada é fazer

$8x^{2}+2=t\;\;\Rightarrow\;\;16x\,dx=1\,dt$


Mudando os limites de integração:

$\text{quando }x=0\;\;\Rightarrow\;\;t=2\\ \\ \text{quando }x=1\;\;\Rightarrow\;\;t=10$


Substituindo, a integral fica

$I=\displaystyle\int\limits_{2}^{10}{\dfrac{1}{t}\,dt}$


A princípio, a primitiva de $\dfrac{1}{t}$ seria o logaritmo do módulo de $t.$ Mas como $t$ só assume valores positivos no intervalo de integração

$2\leq t \leq 10,$

podemos retirar o módulo e ficamos com


$I=\displaystyle\left.\mathrm{\ell n}(t)\right|_{2}^{10}\\ \\ \\ =\mathrm{\ell n}(10)-\mathrm{\ell n}(2)\\ \\ \\ =\mathrm{\ell n}\left(\dfrac{10}{2} \right )\\ \\ \\ =\mathrm{\ell n}(5)$